Descomposición mediante fracciones parciales
La descomposición mediante fracciones parciales es un método para convertir una fracción en una suma o resta de fracciones heterogéneas. Esto es posible, siempre que el denominador de la fracción original sea factorizable, puesto que el procedimiento proviene de la conocida fórmula:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d} }}}$$
No obstante, en este método se aplica de derecha a izquierda; es decir, teniendo una sola fracción, se busca transformarla en una suma (o una resta).
¿Qué utilidad tiene esta descomposición?
En el álgebra, usualmente se trabaja en el sentido usual, convertir dos o más fracciones en una sola. Sin embargo, en temas como series, integrales, ecuaciones diferenciales o transformadas de Laplace, por mencionar algunos ejemplos. Resulta más fácil de resolver los ejercicios al separar las fracciones.
¿Cuándo se debe aplicar?
Este método se suele aplicar sobre fracciones formadas por polinomio, aunque si se tienen otro tipo de funciones (trigonométricas, exponenciales, radicales), una sustitución puede servir. Lo recomendado es con polinomios por su facilidad para realizar las factorizaciones necesarias. Además, la fracción original debe ser una fracción propia (el grado del numerador debe ser menor al del denominador); puesto que en el caso de ser una fracción impropia (el grado del denominador es menor), se debe realizar antes la división de polinomios respectiva.
Por ejemplo, si el grado de $p(x)$ es mayor que el grado de $q(x)$ ($p(x)\ >\ q(x)$), entonces existen los polinomios $r(x)$ y $s(x)$ tal que:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \dfrac{p(x)}{q(x)}\ =\ s(x)+\dfrac{r(x)}{q(x)} }}}$$
Entonces, a esa última fracción se le puede aplicar "fracciones parciales", puesto que el grado de $r(x)$ será siempre menor al grado de $q(x)$ ($r(x)\ <\ q(x)$).
¿Cómo se aplica?
Para iniciar, se debe factorizar el denominador al máximo, de esta forma se pueden obtener dos tipos de factores, lineales de la forma $ax+b$, o cuadráticos irreductibles de la forma $ax^2+bx+c$ (donde se cumple que $b^2<4ac$). Dependiendo del tipo de factor hay una manera de descomponer y formar las fracciones resultantes; en muchos textos los escriben como casos.
Para evitar repeticiones innecesarias de procedimientos, se explicará primero en qué consiste cada caso, cómo se aplica y, finalmente, como se obtienen los valores de las incógnitas. Esto último, se explicará en un apartado después de mencionar los casos de fracciones parciales.
Caso 1: factores lineales sin repetir
Cuando el denominador se puede factorizar en solo factores lineales, es decir, todos los factores son de la forma $ax+b$. Se crea una nueva fracción por cada factor y en el numerador se coloca una incógnita que debemos hallar luego.
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \begin{array}{c}
\dfrac{p(x)}{(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)(a_3x+b_3)\ldots(a_nx+b_n)}\\[10pt]=\\[10pt]
\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+\dfrac{A_3}{a_3x+b_3}+\ldots+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}
\end{array} }}}$$
Ejemplo 1 $$\dfrac{14x-4}{3x^2-4x-4}$$
Primero se verifica que se trate de una fracción algebraica propia, es decir, que el grado del polinomio del numerador sea menor al del denominador:$$\begin{array}{lcl}
14x-4&\Longrightarrow&\text{Grado }1\\
3x^2-4x-4&\Longrightarrow&\text{Grado }2\\
\end{array}$$
Esto permite aplicar el método sin problemas. Aunque para continuar, es necesario que el denominador esté factorizado completamente, y en este caso, no lo está. Así que se factoriza por el método que desees (diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, doble aspa o inspección, completar cuadrados, fórmula general o Ruffini):
$$3x^2-4x-4\ =\ (x-2)(3x+2)$$
De esta forma, la fracción original se puede escribir como:
$$\dfrac{14x-4}{(x-2)(3x+2)}$$Con el denominador factorizado por completo y revisando que los factores son lineales y no se repiten, se aplica la descomposición:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \dfrac{14x-4}{(x-2)(3x+2)}\ =\ \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{3x+2} }}}$$Aún está pendiente determinar el valor de las incógnitas $A$ y $B$, pero eso se explicará al final de la entrada.
Caso 2: factores lineales repetidos
Cuando el denominador se puede factorizar en solo factores lineales, es decir, todos los factores son de la forma $ax+b$ repetido $n$ veces. Se crea una nueva fracción por cada factor y en el numerador se coloca una incógnita que debemos hallar luego.
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \begin{array}{c}
\dfrac{p(x)}{(ax+b)^n}\\[10pt]=\\[10pt]
\dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+\dfrac{A_3}{(ax+b)^3}+\ldots+\dfrac{A_n}{(ax+b)^n}
\end{array} }}}$$
Ejemplo 2 $$\dfrac{5x+12}{x^2+2x+1}$$
Primero se verifica que se trate de una fracción algebraica propia, es decir, que el grado del polinomio del numerador sea menor al del denominador:
$$\begin{array}{lcl}5x+12&\Longrightarrow&\text{Grado }1\\
x^2+2x+1&\Longrightarrow&\text{Grado }2\\
\end{array}$$
Esto permite aplicar el método sin problemas. Aunque para continuar, es necesario que el denominador esté factorizado completamente, y en este caso, no lo está. Así que se factoriza por el método que desees (diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, doble aspa o inspección, completar cuadrados, fórmula general o Ruffini):
$$x^2+2x+1\ =\ (x+1)^2$$
De esta forma, la fracción original se puede escribir como:
$$\dfrac{5x+12}{(x+1)^2}$$
Con el denominador factorizado por completo y revisando que los factores son lineales repetidos, se aplica la descomposición:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \dfrac{5x+12}{(x+1)^2}\ =\ \dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2} }}}$$
Aún está pendiente determinar el valor de las incógnitas $A$ y $B$, pero eso se explicará al final de la entrada.
Cuando el denominador se puede factorizar en solo factores lineales, es decir, todos los factores son de la forma $ax^2+bx+c$, con $b^2<4ac$. Se crea una nueva fracción por cada factor y en el numerador se coloca una incógnita que debemos hallar luego.
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \begin{array}{c}
\dfrac{p(x)}{(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_2x^2+b_2x+c_2)\ldots(a_nx^2+b_nx+c_n)}\\[10pt]=\\[10pt]
\dfrac{A_1}{a_1x^2+b_1x+c_1}+\dfrac{A_2}{a_2x^2+b_2x+c_2}+\ldots+\dfrac{A_n}{a_nx^2+b_nx+c_n}
\end{array} }}}$$
Ejemplo 3 $$\dfrac{2x^3+3x^2+3x+4}{x^4+3x^2+2}$$
Primero se verifica que se trate de una fracción algebraica propia, es decir, que el grado del polinomio del numerador sea menor al del denominador:$$\begin{array}{lcl}
2x^3+3x^2+3x+4&\Longrightarrow&\text{Grado }3\\
x^4+3x^2+2&\Longrightarrow&\text{Grado }4\\
\end{array}$$
Esto permite aplicar el método sin problemas. Aunque para continuar, es necesario que el denominador esté factorizado completamente, y en este caso, no lo está. Así que se factoriza por el método que desees (diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, doble aspa o inspección, completar cuadrados, fórmula general o Ruffini):
$$x^4+3x^2+2\ =\ (x^2+1)(x^2+2)$$
De esta forma, la fracción original se puede escribir como:
$$\dfrac{2x^3+3x^2+3x+4}{(x^2+1)(x^2+2)}$$Con el denominador factorizado por completo y revisando que los factores son cuadráticos irreductibles y no se repiten, se aplica la descomposición:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \dfrac{2x^3+3x^2+3x+4}{(x^2+1)(x^2+2)}\ =\ \dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{Cx+D}{x^2+2} }}}$$
Aún está pendiente determinar el valor de las incógnitas $A$, $B$, $C$ y $D$, pero eso se explicará al final de la entrada.
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \dfrac{2x^3+3x^2+3x+4}{(x^2+1)(x^2+2)}\ =\ \dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{Cx+D}{x^2+2} }}}$$
Aún está pendiente determinar el valor de las incógnitas $A$, $B$, $C$ y $D$, pero eso se explicará al final de la entrada.
Caso 4: factores cuadráticos irreductibles repetidos
Cuando el denominador se puede factorizar en solo factores lineales, es decir, todos los factores son de la forma $ax^2+bx+c$, con $b^2<4ac$, repetido $n$ veces.. Se crea una nueva fracción por cada factor y en el numerador se coloca una incógnita que debemos hallar luego.
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \begin{array}{c}
\dfrac{p(x)}{(a_1x^2+b_1x+c_1)(a_2x^2+b_2x+c_2)\ldots(a_nx^2+b_nx+c_n)}\\[10pt]=\\[10pt]
\dfrac{A_1}{a_1x^2+b_1x+c_1}+\dfrac{A_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)^2}+\ldots+\dfrac{A_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)^n}
\end{array} }}}$$
Ejemplo 4 $$\dfrac{5x^3+2x^2+21x+4}{x^4+6x^2+9}$$
Primero se verifica que se trate de una fracción algebraica propia, es decir, que el grado del polinomio del numerador sea menor al del denominador:$$\begin{array}{lcl}
5x^3+2x^2+21x+4&\Longrightarrow&\text{Grado }3\\
x^4+6x^2+9&\Longrightarrow&\text{Grado }4\\
\end{array}$$
Esto permite aplicar el método sin problemas. Aunque para continuar, es necesario que el denominador esté factorizado completamente, y en este caso, no lo está. Así que se factoriza por el método que desees (diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, doble aspa o inspección, completar cuadrados, fórmula general o Ruffini):
$$x^4+6x^2+9\ =\ (x^2+3)^2$$
De esta forma, la fracción original se puede escribir como:
$$\dfrac{5x^3+2x^2+21x+4}{(x^2+3)^2}$$
Con el denominador factorizado por completo y revisando que los factores son cuadráticos irreductibles y no se repiten, se aplica la descomposición:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \dfrac{5x^3+2x^2+21x+4}{(x^2+3)^2}\ =\ \dfrac{Ax+B}{x^2+3}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+3)^2} }}}$$
Aún está pendiente determinar el valor de las incógnitas $A$, $B$, $C$ y $D$, pero eso se explicará al final de la entrada.
¿Cómo se encuentran los valores para las incógnitas generadas en la descomposición?
La forma más utilizada para hallar estas incógnitas es mediante sistemas de ecuaciones. Estos sistemas aparecen tras realizar una manipulación algebraica sobre las fracciones construidas, es decir, debemos sumarlas para poder comparar y hacer el sistema. Para explicar esto, se hará sobre los ejemplos anteriores.
Factores lineales sin repetir
En el ejemplo 1, se descompuso la fracción como:$$\dfrac{14x-4}{(x-2)(3x+2)}\ =\ \dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{3x+2}$$
Como se dijo antes, se deben sumar las fracciones, para ello, se amplifica cada una por el denominador de la otra:
$$\dfrac{14x-4}{(x-2)(3x+2)}\ =\ \dfrac{A}{x-2}\cdot\dfrac{3x+2}{3x+2}+\dfrac{B}{3x+2}\cdot\dfrac{x-2}{x-2}$$
Resolviendo las multiplicaciones de los numeradores (los denominadores se pueden dejar así):
$$\dfrac{14x-4}{(x-2)(3x+2)}\ =\ \dfrac{3Ax+2A}{(x-2)(3x+2)}+\dfrac{Bx-2B}{(3x+2)(x-2)}$$
Como los denominadores son iguales, se conserva y se suman solo los numeradores:
$$\dfrac{14x-4}{(x-2)(3x+2)}\ =\ \dfrac{3Ax+2A+Bx-2B}{(3x+2)(x-2)}$$
En este paso se agrupan de acuerdo a la variable $x$:
$$\dfrac{14x-4}{(x-2)(3x+2)}\ =\ \dfrac{(3A+B)x+(2A-2B)}{(3x+2)(x-2)}$$
En este punto, se comparan los coeficientes de los numeradores, puesto que deben ser iguales para cumplir la ecuación:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
14x\ =\ (3A+B)x\\
-4\ =\ (2A-2B)\\
\end{array}\right.$$
En las ecuaciones, la variable $x$ (y sus potencias) se pueden descartar, porque ya no son relevantes. Así que el sistema anterior se puede escribir como:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
14\ =\ 3A+B\\
-4\ =\ 2A-2B\\
\end{array}\right.$$
La solución del sistema brinda el valor numérico de las incógnitas $A$ y $B$. Una forma de resolver este sistema, en particular, es multiplicando la primera ecuación por $2$:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
28\ =\ 6A+2B\\
-4\ =\ 2A-2B\\
\end{array}\right.$$
Si se suman estas ecuaciones, la variable $B$ desaparece y queda una ecuación lineal:
$$28+-4\ =\ 6A+2A$$
La cual equivale a:
$$24\ =\ 8A$$
Cuya solución es $A=3$. Este resultado se utiliza en cualquiera de las ecuaciones originales del sistema para obtener el valor de $B$. Por ejemplo, en la primera ecuación se obtendría:
$$14\ =\ 3\cdot3+B$$
Ecuación cuya solución es $B=5$. De esta forma la descomposición en fracciones parciales sería:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \dfrac{14x-4}{(x-2)(3x+2)}\ =\ \dfrac{3}{x-2}+\dfrac{5}{3x+2} }}}$$
Factores lineales repetidos
En el ejemplo 2, se descompuso la fracción como:$$\dfrac{5x+12}{(x+1)^2}\ =\ \dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}$$
Como se dijo antes, se deben sumar las fracciones, para ello, se amplifica la primera fracción por el denominador que posee:
$$\dfrac{5x+12}{(x+1)^2}\ =\ \dfrac{A}{x+1}\cdot\dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2}$$
Resolviendo las multiplicaciones de los numeradores (los denominadores se pueden dejar así):
$$\dfrac{5x+12}{(x+1)^2}\ =\ \dfrac{Ax+A}{(x+1)^2}+\dfrac{B}{(x+1)^2}$$
Como los denominadores son iguales, se conserva y se suman solo los numeradores:
$$\dfrac{5x+12}{(x+1)^2}\ =\ \dfrac{Ax+A+B}{(x+1)^2}$$
En este paso se agrupan de acuerdo a la variable $x$:
$$\dfrac{5x+12}{(x+1)^2}\ =\ \dfrac{Ax+(A+B)}{(x+1)^2}$$
En este punto, se comparan los coeficientes de los numeradores, puesto que deben ser iguales para cumplir la ecuación:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
5x\ =\ Ax\\
12\ =\ (A+B)\\
\end{array}\right.$$
En las ecuaciones, la variable $x$ (y sus potencias) se pueden descartar, porque ya no son relevantes. Así que el sistema anterior se puede escribir como:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
5\ =\ A\\
12\ =\ A+B\\
\end{array}\right.$$
La solución del sistema brinda el valor numérico de las incógnitas $A$ y $B$. La primera ecuación brinda la solución inmediatamente, $A=5$. Este resultado se utiliza en la ecuación del sistema para obtener el valor de $B$:
$$12\ =\ 5+B$$
Ecuación cuya solución es $B=7$. De esta forma la descomposición en fracciones parciales sería:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \dfrac{5x+12}{(x+1)^2}\ =\ \dfrac{5}{x+1}+\dfrac{7}{(x+1)^2} }}}$$
Factores cuadráticos irreductibles sin repetir
En el ejemplo 3, se descompuso la fracción como:$$\dfrac{2x^3+3x^2+3x+4}{x^4+3x^2+2}\ =\ \dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{Cx+D}{x^2+2}$$
Como se dijo antes, se deben sumar las fracciones, para ello, se amplifica cada una por el denominador de la otra:
$$\dfrac{2x^3+3x^2+3x+4}{x^4+3x^2+2}\ =\ \dfrac{Ax+B}{x^2+1}\cdot\dfrac{x^2+2}{x^2+2}+\dfrac{Cx+D}{x^2+2}\cdot\dfrac{x^2+1}{x^2+1}$$
Resolviendo las multiplicaciones de los numeradores (los denominadores se pueden dejar así):
$$\dfrac{2x^3+3x^2+3x+4}{x^4+3x^2+2}\ =\ \dfrac{Ax^3+Bx^2+2Ax+2B}{(x^2+1)(x^2+2)}+\dfrac{Cx^3+Dx^2+Cx+D}{(x^2+2)(x^2+1)}$$
Como los denominadores son iguales, se conserva y se suman solo los numeradores:
$$\dfrac{2x^3+3x^2+3x+4}{x^4+3x^2+2}\ =\ \dfrac{Ax^3+Bx^2+2Ax+2B+Cx^3+Dx^2+Cx+D}{(x^2+2)(x^2+1)}$$
En este paso se agrupan de acuerdo a la variable $x$:
$$\dfrac{2x^3+3x^2+3x+4}{x^4+3x^2+2}\ =\ \dfrac{(A+C)x^3+(B+D)x^2+(2A+C)x+(2B+D)}{(x^2+2)(x^2+1)}$$
En este punto, se comparan los coeficientes de los numeradores, puesto que deben ser iguales para cumplir la ecuación:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
2x^3\ =\ (A+C)x^3\\
3x^2\ =\ (B+D)x^2\\
3x\ =\ (2A+C)x\\
4\ =\ (2B+D)\\
\end{array}\right.$$
En las ecuaciones, la variable $x$ (y sus potencias) se pueden descartar, porque ya no son relevantes. Así que el sistema anterior se puede escribir como:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
2\ =\ A+C\\
3\ =\ B+D\\
3\ =\ 2A+C\\
4\ =\ 2B+D\\
\end{array}\right.$$
La solución del sistema brinda el valor numérico de las incógnitas $A$, $B$, $C$ y $D$. Este sistema se puede separar en dos sistemas independientes (porque hay dos ecuaciones solo con $A$ y $C$, y otro sistema solo con $B$ y $D$):
$$\left\{\begin{array}{ccc}
2\ =\ A+C\\
3\ =\ 2A+C\\
\end{array}\right.\hspace{2cm}
\left\{\begin{array}{ccc}
3\ =\ B+D\\
4\ =\ 2B+D\\
\end{array}\right.$$
En ambos sistemas, se pueden restar las ecuaciones para desaparecer una de las variables y formar así ecuaciones lineales más simples:
$$2-3\ =\ A-2A \hspace{2cm} 3-4\ =\ B-2B$$
Estas ecuaciones tienen por soluciones a los valores $A=1$ y $B=1$. Estos resultados se pueden sustituir en cualquier de las ecuaciones de los sistemas a los que pertenecen para determinar el valor de las otras incógnitas. Utilizando la primera ecuación en ambos casos:
$$2\ =\ 1+C \hspace{2cm} 3\ =\ 1+D$$
Se concluye que $C=1$ y $D=2$. De esta forma la descomposición en fracciones parciales sería:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \dfrac{2x^3+3x^2+3x+4}{x^4+3x^2+2}\ =\ \dfrac{x+1}{x^2+1}+\dfrac{x+2}{x^2+2} }}}$$
Factores cuadráticos irreductibles repetidos
En el ejemplo 4, se descompuso la fracción como:$$\dfrac{5x^3+2x^2+21x+4}{x^4+6x^2+9}\ =\ \dfrac{Ax+B}{x^2+3}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+3)^2}$$
Como se dijo antes, se deben sumar las fracciones, para ello, se amplifica la primera fracción por el denominador que posee:
$$\dfrac{5x^3+2x^2+21x+4}{x^4+6x^2+9}\ =\ \dfrac{Ax+B}{x^2+3}\cdot\dfrac{x^2+3}{x^2+3}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+3)^2}$$
Resolviendo las multiplicaciones de los numeradores (los denominadores se pueden dejar así):
$$\dfrac{5x^3+2x^2+21x+4}{x^4+6x^2+9}\ =\ \dfrac{Ax^3+Bx^2+3Ax+3B}{(x^2+3)^2}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+3)^2}$$
Como los denominadores son iguales, se conserva y se suman solo los numeradores:
$$\dfrac{5x^3+2x^2+21x+4}{x^4+6x^2+9}\ =\ \dfrac{Ax^3+Bx^2+3Ax+3B+Cx+D}{(x^2+3)^2}$$
En este paso se agrupan de acuerdo a la variable $x$:
$$\dfrac{5x^3+2x^2+21x+4}{x^4+6x^2+9}\ =\ \dfrac{Ax^3+Bx^2+(3A+C)x+(3B+D)}{(x^2+3)^2}$$
En este punto, se comparan los coeficientes de los numeradores, puesto que deben ser iguales para cumplir la ecuación:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
5x^3\ =\ Ax^3\\
2x^2\ =\ Bx^2\\
21x\ =\ (3A+C)x\\
4\ =\ (3B+D)\\
\end{array}\right.$$
En las ecuaciones, la variable $x$ (y sus potencias) se pueden descartar, porque ya no son relevantes. Así que el sistema anterior se puede escribir como:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
5\ =\ A\\
2\ =\ B\\
21\ =\ 3A+C\\
4\ =\ 3B+D\\
\end{array}\right.$$
La solución del sistema brinda el valor numérico de las incógnitas $A$, $B$, $C$ y $D$. Las primeras 2 ecuaciones brindan las soluciones inmediatamente, $A=5$ y $B=2$. Estos resultados se utilizan en las ecuaciones restantes del sistema para obtener los valores de $C$ y $D$:
$$21\ =\ 3\cdot5+C \hspace{2cm} 4\ =\ 3\cdot2+D$$
Las soluciones de estas ecuaciones son $C=6$ y $D=-2$. De esta forma la descomposición en fracciones parciales sería:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \dfrac{5x^3+2x^2+21x+4}{x^4+6x^2+9}\ =\ \dfrac{5x+2}{x^2+3}+\dfrac{6x-2}{(x^2+3)^2} }}}$$
Observa que la forma de encontrar las variables es el mismo, se forma un sistema y se despejan los valores de las incógnitas. En caso de aparecer un denominador con 3 factores, solo crea una tercera fracción pero la forma de obtener las incógnitas se mantiene, un poco de práctica y este tema te ayudará con otros temas, como se mencionó antes.
NOTA: Existen otros métodos para hallar las incógnitas, pero se limitan a casos específicos. Aunque no estaría mal conocerlos; eso sí, se debe saber identificar cuando es posible utilizarlos.
