Media aritmética simple y ponderada

Media aritmética simple y ponderada

Media aritmética
La media aritmética, o media, de una muestra con $n$ datos $ \{x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,\dots,x_{n-1},x_n\} $, se representa mediante el símbolo $\overline{x}$, y se define de la siguiente forma:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \overline{x}=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{x_i}{n}}}}$$
Si la notación sigma (así se le llama al símbolo $\Sigma$) se torna complicada, se puede expresar en términos más simples mediante la siguiente expresión:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \overline{x}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+\ldots+x_{n-1}+x_n}{n}}}}$$
Lo anterior se puede expresar en palabras sencillas, la media aritmética corresponde a la división de la suma de todos, y cada uno, de los datos, por el total de datos presentes en la muestra. Para ejemplificar esto, observe los siguientes grupos de datos.

Ejemplo 1
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{12,13,15,17,13,15,19,21,10,14,16,20}}}$$
Para calcular la media es necesario sumar todos los datos, es decir:
$$\color{blue}{ 12+13+15+17+13+15+19+21+10+14+16+20=185 }$$Luego, se procede a contar la cantidad de datos en la muestra, la cual corresponde a $12$. Finalmente, se realiza la división entre la suma de los datos y la cantidad que hay:
$$\color{blue}{ \overline{x}=\dfrac{185}{12} }$$Por lo tanto, la media corresponde a la cantidad:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \overline{x}=15.41\overline{6} }}}$$
Ejemplo 2
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ 5,7,120,36,25,44,73,93,35,42. }} }$$Para calcular la media es necesario sumar todos los datos, es decir:
$$\color{blue}{ 5+7+120+36+25+44+73+93+35+42=480 }$$Luego, se procede a contar la cantidad de datos en la muestra, la cual corresponde a \hka{ 10 }. Finalmente, se realiza la división entre la suma de los datos y la cantidad que hay:
$$\color{blue}{ \overline{x}=\dfrac{480}{10} }$$Por lo tanto, la media corresponde a la cantidad:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \overline{x}=48 }}}$$

Media aritmética ponderada
La media aritmética ponderada, o media ponderada, es una media aritmética simple aplicada sobre datos agrupados por frecuencias absolutas o cuyos datos poseen diferentes pesos. La media ponderada se representa con el símbolo $x_p$ y se define de esta forma:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ x_p=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i\cdot f_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}f_i} }}}$$De igual forma, si la notación sigma es poco "amigable", se puede expresar en términos más simples mediante la siguiente expresión:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ x_p=\dfrac{x_1\cdot f_1+x_2\cdot f_2+x_3\cdot f_3+\dots+x_{n-1}\cdot f_{n-1}+x_n\cdot f_n}{f_1+f_2+f_3+\ldots+f_{n-1}+f_n} }}}$$Lo anterior se puede expresar en palabras sencillas, la media aritmética ponderada corresponde a la división de la suma de todos de los datos (cada uno multiplicado por su respectivo peso o frecuencia), por la suma de los pesos o frecuencias en la muestra. Para ejemplificar esto, observe los siguientes grupos de datos.

Ejemplo 1

$$\color{red}{ \begin{array}{c|c|c}\hline
\color{blue}{\text{Trimestre}} & \color{blue}{\text{Ponderación}} & \color{blue}{\text{Calificación}} \\\hline\hline
\color{blue}{\text{I}} & \color{blue}{20\%} & \color{blue}{90}\\
\color{blue}{\text{II}} & \color{blue}{30\%} & \color{blue}{70}\\
\color{blue}{\text{III}} & \color{blue}{50\%} & \color{blue}{60}\\
\hline\end{array} }$$Si se desea conocer el promedio final, se debe trabajar como una media ponderada; porque cada trimestre tiene un peso distinto. para realizar el cálculo, se deben multiplicar primero las calificaciones por su respectivo peso ponderado:
$$\color{red}{ \begin{array}{ccc}
\color{blue}{20\%\cdot90} & \color{blue}{=} & \color{blue}{18}\\
\color{blue}{30\%\cdot70} & \color{blue}{=} & \color{blue}{21}\\
\color{blue}{50\%\cdot60} & \color{blue}{=} & \color{blue}{30}
\end{array} }$$Luego, se procede a sumar las ponderaciones por separado:
$$\color{blue}{ 20\%+30\%+50\%=100\% }$$Finalmente, se sustituye en la fórmula, en el numerador se coloca la suma de las multiplicaciones obtenidas anteriormente, y en el denominador la suma de las ponderaciones:
$$\color{blue}{ x_p=\dfrac{ 18+21+30 }{ 100\% } }$$Al simplificar, se obtiene la media ponderada (recuerda que $18+21+30=69$ y $100\%=1$):
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ x_p=69 }}}$$
Ejemplo 2
$$\color{red}{ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
\color{blue}{10} & \color{blue}{12} & \color{blue}{15} &
\color{blue}{18} & \color{blue}{15} & \color{blue}{12} &
\color{blue}{10} & \color{blue}{14} & \color{blue}{10}\\\hline
\color{blue}{18} & \color{blue}{10} & \color{blue}{12} &
\color{blue}{12} & \color{blue}{14} & \color{blue}{10} &
\color{blue}{15} & \color{blue}{10} & \color{blue}{12}\\\hline
\color{blue}{11} & \color{blue}{11} & \color{blue}{18} &
\color{blue}{14} & \color{blue}{14} & \color{blue}{10} &
\color{blue}{12} & \color{blue}{14} & \color{blue}{11}\\\hline
\end{array} }$$En este caso se tiene una serie de datos, en la cual, aparecen repetidos varias veces; se puede realizar como una media simple pero conlleva a un trabajo excesivamente largo, pues se requiere de sumar 27 datos diferentes. Este trabajo se puede reducir si se agrupan los datos en una tabla de frecuencias absolutas. No es necesario colocar los números que no aparecen, como el $13$, el $16$ o el $17$:
$$\color{red}{ \begin{array}{c|c}\hline
\color{blue}{\text{Datos}} & \color{blue}{\text{Frecuencia}} \\\hline\hline
\color{blue}{10} & \color{blue}{7} \\
\color{blue}{11} & \color{blue}{3} \\
\color{blue}{12} & \color{blue}{6} \\
\color{blue}{14} & \color{blue}{5} \\
\color{blue}{15} & \color{blue}{3} \\
\color{blue}{18} & \color{blue}{3} \\
\hline\end{array} }$$En este caso, se puede realizar un procedimiento similar al del ejemplo 1, las frecuencias funcionan similar a los pesos ponderados. Entonces, primero se deben multiplicar la cantidad del dato por su respectiva frecuencia absoluta:
$$\color{red}{ \begin{array}{ccc}
\color{blue}{10\cdot7} &\color{blue}{=}& \color{blue}{70} \\
\color{blue}{11\cdot3} &\color{blue}{=}& \color{blue}{33} \\
\color{blue}{12\cdot6} &\color{blue}{=}& \color{blue}{36} \\
\color{blue}{14\cdot5} &\color{blue}{=}& \color{blue}{70} \\
\color{blue}{15\cdot3} &\color{blue}{=}& \color{blue}{45} \\
\color{blue}{18\cdot3} &\color{blue}{=}& \color{blue}{54} \\
\end{array} }$$Luego, se procede a sumar las frecuencias por separado:
$$\color{blue}{7+3+6+5+3+3=27}$$Finalmente, se sustituye en la fórmula, en el numerador se coloca la suma de las multiplicaciones obtenidas anteriormente, y en el denominador la suma de las frecuencias:
$$\color{blue}{x_p=\dfrac{ 70+33+36+70+45+54 }{ 27 } }$$Al simplificar, se obtiene la media ponderada (recuerda que $70+33+36+70+45+54=308$):
$$\color{blue}{x_p=\dfrac{ 308 }{ 27 } }$$Se realiza la división para dar con el resultado final:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ x_p=11.\overline{407} }}}$$