Derivación: demostraciones (parte 2)

Derivación: demostraciones (parte 2)

Nota Aclaratoria
En esta sección se toma como postulados, las propiedades de los números reales y de los límites; esto, con el fin de permitir una claridad en cada una de las demostraciones. Además, el concepto de derivada también se utilizará con mayor fuerza, el cual puedes consultar aquí, el cual, corresponde a
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ f^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} }}}$$
Aclarado esto, se procede a las demostraciones de las reglas de derivación, las cuales puedes consultar aquí. Además, las letras $y$, $u$ y $v$, representan funciones de variable $x$; es decir, $y=y(x)$, $u=u(x)$ y $v=v(x)$; todas ellas derivables en un intervalo $I$ y bien definidas. Además, las letras $a$, $c$ y $n$ son cantidades constantes.

Derivadas básicas
En esta sección se demuestran la derivada de una constante, de un monomio de grado $n$, de una constante por una función y la regla de la cadena para la composición de funciones.

• Derivada de una constante
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[c]\ =\ 0 }}}$$
Se parte del lado izquierdo y se aplica la definición de derivada:
$$d[c]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
Como $f(x)=c$ entonces todas sus imágenes son iguales:
$$d[c]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{c-c}{h}$$
Resolviendo la operación del numerador:
$$d[c]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{0}{h}$$
Entonces, el límite corresponde a:
$$d[c]=0$$

• Derivada de un monomio de grado $n$
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[x^n]\ =\ n\cdot x^{n-1} }}}$$
Se parte del lado izquierdo y se aplica la definición de derivada:
$$d[x^n]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}$$
Se aplica el binomio de Newton $(a+b)^n=\displaystyle\sum_{i=0}^n\left(\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)a^{n-i}b^i\right)$:
$$d[x^n]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\displaystyle\sum_{i=0}^n\left(\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)x^{n-i}h^i\right)-x^n}{h}$$
Se extraen los primeros dos términos de la sumatoria:
$$d[x^n]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{x^n+n\cdot x^{n-1}h+\displaystyle\sum_{i=2}^n\left(\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)x^{n-i}h^i\right)-x^n}{h}$$
Se suman el primer y último término del numerador:
$$d[x^n]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{n\cdot x^{n-1}h+\displaystyle\sum_{i=2}^n\left(\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)x^{n-i}h^i\right)}{h}$$
Se extrae un factor $h^2$ de la sumatoria:
$$d[x^n]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{n\cdot x^{n-1}h+h^2\cdot\displaystyle\sum_{i=2}^n\left(\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)x^{n-i}h^{i-2}\right)}{h}$$
Se aplica factor común $h$ en el numerador:
$$d[x^n]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{h\left( n\cdot x^{n-1}+h\cdot\displaystyle\sum_{i=2}^n\left(\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)x^{n-i}h^{i-2}\right)\right)}{h}$$
Se simplifican las $h$ del numerador y denominador:
$$d[x^n]=\lim_{h\rightarrow0}n\cdot x^{n-1}+h\cdot\displaystyle\sum_{i=2}^n\left(\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)x^{n-i}h^{i-2}\right)$$
Se separa el límite de la suma como la suma de los límites:
$$d[x^n]=\lim_{h\rightarrow0}n\cdot x^{n-1}+\lim_{h\rightarrow0}h\cdot\displaystyle\sum_{i=2}^n\left(\left(\begin{array}{c}n\\i\end{array}\right)x^{n-i}h^{i-2}\right)$$
El primer límite queda como está, pues es constante (no depende de $h$), el segundo está todo multiplicado por $h$, entonces:
$$d[x^n]=n\cdot x^{n-1}+0$$
Esto es equivalente a tener:
$$d[x^n]=n\cdot x^{n-1}$$

• Derivada de una constante por una función
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[a\cdot f(x)]\ =\ a\cdot d[f(x)] }}}$$
Se parte del lado izquierdo y se aplica la definición de derivada:
$$d[a\cdot f(x)]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{a\cdot f(x+h)-a\cdot f(x)}{h}$$
Se aplica factor común $a$:
$$d[a\cdot f(x)]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{a\left( f(x+h)-f(x)\right)}{h}$$
Se extrae la constante del límite:
$$d[a\cdot f(x)]=a\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
El límite es la derivada de la función $f$, entonces:
$$d[a\cdot f(x)]=a\cdot d[f(x)]$$

• Regla de la Cadena
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d\big[f(u)\big]\ =\ f^\prime(u)\cdot d[u] }}}$$
Recuerda que $u=u(x)$, y para efectos de tener una composición, vamos a excluir el caso cuando $u(x)=c$. Se parte del lado izquierdo y se aplica la definición de derivada:
$$d\left[f(u(x))\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(u(x+h))-f(u(x))}{h}$$
Se amplifica la fracción por $u(x+h)-u(x)\not=0$ (porque $u(x)$ no es constante):
$$d\left[f(u)\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(u(x+h))-f(u(x))}{h}\cdot\dfrac{u(x+h)-u(x)}{u(x+h)-u(x)}$$
Se intercambian los denominadores de las fracciones:
$$d\left[f(u)\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(u(x+h))-f(u(x))}{u(x+h)-u(x)}\cdot\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}$$
Se separa el límite como el producto de límites:
$$d\left[f(u)\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(u(x+h))-f(u(x))}{u(x+h)-u(x)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}$$
Observa que el segundo límite corresponde a una derivada, entonces:
$$d\left[f(u)\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(u(x+h))-f(u(x))}{u(x+h)-u(x)}\cdot d[u(x)]$$
Para continuar con el límite restante, se recurre a la otra definición de derivada. Esta otra definición la puedes consultar aquí, la cual corresponde al límite $f^\prime(a)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$. Para evidenciar esta forma, se realiza el siguiente cambio de variable $k=u(x+h)$, de esta forma cuando $h\rightarrow0$ se cumple que $k\rightarrow u$. Por lo tanto:
$$d\left[f(u)\right]=\lim_{k\rightarrow u}\dfrac{f(y)-f(u)}{y-u}\cdot d[u(x)]$$
Esto se traduce en la derivada de la función $f(u)$, es decir:
$$d\left[f(u)\right]=f^\prime(u)\cdot d[u(x)]$$
Considerando que $u=u(x)$:
$$d\left[f(u)\right]=f^\prime(u)\cdot d[u]$$