Derivación: demostraciones (parte 1)

Derivación: demostraciones (parte 1)

Nota Aclaratoria
En esta sección se toma como postulados, las propiedades de los números reales y de los límites; esto, con el fin de permitir una claridad en cada una de las demostraciones. Además, el concepto de derivada también se utilizará con mayor fuerza, el cual puedes consultar aquí, el cual, corresponde a
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ f^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} }}}$$
Aclarado esto, se procede a las demostraciones de las reglas de derivación, las cuales puedes consultar aquí. Además, las letras $y$, $u$ y $v$, representan funciones de variable $x$; es decir, $y=y(x)$, $u=u(x)$ y $v=v(x)$; todas ellas derivables en un intervalo $I$ y bien definidas. Además, las letras $a$, $c$ y $n$ son cantidades constantes.

Operaciones con derivadas
En esta sección se demuestran la derivada de una suma (o resta), de un producto y de un cociente.

• Derivada de una suma
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[u+v]\ =\ d[u]+d[v] }}}$$
Se parte del lado izquierdo y se aplica la definición de derivada:
$$d[u+v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\big( u+v \big)(x+h)-\big( u+v \big)(x)}{h}$$
Se escribe $\big(u+v\big)(x)=\big( u(x)+v(x) \big)$:
$$d[u+v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\big( u(x+h)+v(x+h) \big)-\big( u(x)+v(x) \big)}{h}$$
Aplicando la ley distributiva:
$$d[u+v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)+v(x+h)-u(x)-v(x)}{h}$$
Se agrupan las funciones:
$$d[u+v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)-u(x)+v(x+h)-v(x)}{h}$$
Se separa la fracción para cada una de las funciones:
$$d[u+v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}+\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}$$
Se separa el límite de una suma como la suma de límites:
$$d[u+v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}$$
Cada uno de esos límites representa a la definición de derivada, entonces:
$$d[u+v]=d[u]+d[v]$$

• Derivada de una resta
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[u-v]\ =\ d[u]-d[v] }}}$$
Se parte del lado izquierdo y se aplica la definición de derivada:
$$d[u-v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\big( u-v \big)(x+h)-\big( u-v \big)(x)}{h}$$
Se escribe $\big(u-v\big)(x)=\big( u(x)-v(x) \big)$:
$$d[u-v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\big( u(x+h)-v(x+h) \big)-\big( u(x)-v(x) \big)}{h}$$
Aplicando la ley distributiva:
$$d[u-v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)-v(x+h)-u(x)+v(x)}{h}$$
Se agrupan las funciones:
$$d[u-v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)-u(x)-v(x+h)+v(x)}{h}$$
Se separa la fracción para cada una de las funciones:
$$d[u-v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}+\dfrac{-v(x+h)+v(x)}{h}$$
Se separa el límite de una resta como la resta de límites:
$$d[u-v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{-v(x+h)+v(x)}{h}$$
Se aplica factor común al signo negativo del segundo límite:
$$d[u-v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}-\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}$$
Cada uno de esos límites representa a la definición de derivada, entonces:
$$d[u-v]=d[u]-d[v]$$

• Derivada de un producto
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[u\cdot v]\ =\ d[u]\cdot v+u\cdot d[v] }}}$$
Se parte del lado izquierdo y se aplica la definición de derivada:
$$d[u\cdot v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\big( u\cdot v \big)(x+h)-\big( u\cdot v \big)(x)}{h}$$
Se escribe $\big(u\cdot v\big)(x)=\big( u(x)\cdot v(x) \big)$:
$$d[u\cdot v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x)}{h}$$
Se suma, en el numerador, el término $u(x)\cdot v(x+h)$:
$$d[u\cdot v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x+h)-u(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v(x+h)}{h}$$
Se aplica factor común $u(x)$ del nuevo término con el segundo:
$$d[u\cdot v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x+h)+u(x)\big( -v(x)+v(x+h) \big)}{h}$$
Al sumar el término anterior, se perdió la equivalencia. Para recuperarla, se resta el mismo término $u(x)\cdot v(x+h)$ en el numerador:
$$d[u\cdot v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x+h)+u(x)\big( -v(x)+v(x+h) \big)-u(x)\cdot v(x+h)}{h}$$
Se aplica factor común $v(x+h)$ con primer y el último término:
$$d[u\cdot v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{v(x+h)\big( u(x+h)-u(x) \big)+u(x)\big( -v(x)+v(x+h) \big)}{h}$$
Se organiza el paréntesis del segundo término:
$$d[u\cdot v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{v(x+h)\big( u(x+h)-u(x) \big)+u(x)\big( v(x+h)-v(x) \big)}{h}$$
Se separan la fracción como una suma de fracciones:
$$d[u\cdot v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{v(x+h)\big( u(x+h)-u(x) \big)}{h}+\dfrac{u(x)\big( v(x+h)-v(x) \big)}{h}$$
Se separa el límite de una suma como la suma de límites:
$$d[u\cdot v]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{v(x+h)\big( u(x+h)-u(x) \big)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x)\big( v(x+h)-v(x) \big)}{h}$$
El primer límite se puede expresar como un producto de límites y se extrae la constante $u(x)$ del límite:
$$d[u\cdot v]=\lim_{h\rightarrow0}v(x+h)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)-u(x)}{h}+u(x)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}$$
Se calculan los límites y se aplica la definición de derivada:
$$d[u\cdot v]=v\cdot d[u]+u\cdot d[v]$$
Organizando los factores:
$$d[u\cdot v]=d[u]\cdot v+u\cdot d[v]$$

• Derivada de un cociente
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d\left[\dfrac{u}{v}\right]\ =\ \dfrac{d[u]\cdot v-u\cdot d[v]}{v^2} }}}$$
Se parte del lado izquierdo y se aplica la definición de derivada:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\left( \dfrac{u}{v} \right)(x+h)-\left( \dfrac{u}{v} \right)(x)}{h}$$
Se escribe $\left( \dfrac{u}{v} \right)(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{u(x+h)}{v(x+h)}-\dfrac{u(x)}{v(x)}}{h}$$
Se realiza la resta de fracciones en el numerador:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)}{v(x)\cdot v(x+h)}}{h}$$
Se extrae como factor, del numerador, $\dfrac{1}{v(x)\cdot v(x+h)}$:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{1}{v(x)\cdot v(x+h)}\cdot\dfrac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)}{h}$$
Se expresa el límite como un producto de límites:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{1}{v(x)\cdot v(x+h)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)}{h}$$
Al evaluar el primer límite se obtiene:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\dfrac{1}{v(x)\cdot v(x)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)}{h}$$
Al simplificar ese factor queda como:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\dfrac{1}{v^2(x)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)}{h}$$ Se introduce el factor en el límite como una constante que multiplica a $h$:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)}{v^2(x)\cdot h}$$
Se suma, en el numerador, el término $u(x)\cdot v(x)$:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+h)+u(x)\cdot v(x)}{v^2(x)\cdot h}$$
Se aplica factor común $u(x)$ del nuevo término con el segundo:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x)+u(x)\big( -v(x+h)+v(x) \big)}{v^2(x)\cdot h}$$
Al sumar el término anterior, se perdió la equivalencia. Para recuperarla, se resta el mismo término $u(x)\cdot v(x)$ en el numerador:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x)+u(x)\big( -v(x+h)+v(x) \big)}{v^2(x)\cdot h}$$
El en segundo paréntesis se extrae por factor común el negativo:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\big( v(x+h)-v(x) \big)}{v^2(x)\cdot h}$$
Al sumar el término anterior, se perdió la equivalencia. Para recuperarla, se resta el mismo término $u(x)\cdot v(x)$ en el numerador:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)\cdot v(x)-u(x)\big( v(x+h)-v(x) \big)-u(x)\cdot v(x)}{v^2(x)\cdot h}$$
Se aplica factor común $v(x)$ con primer y el último término:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{v(x)\big( u(x+h)-u(x) \big)-u(x)\big( v(x+h)-v(x) \big)}{v^2(x)\cdot h}$$
Se separa la fracción como una resta de fracciones:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{v(x)\big( u(x+h)-u(x) \big)}{v^2(x)\cdot h}-\dfrac{u(x)\big( v(x+h)-v(x) \big)}{v^2(x)\cdot h}$$
Se separa el límite de una suma como la suma de límites:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{v(x)\big( u(x+h)-u(x) \big)}{v^2(x)\cdot h}-\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x)\big( v(x+h)-v(x) \big)}{v^2(x)\cdot h}$$
Se extraen las constantes de los límites (lo que no depende de $h$):
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\dfrac{v(x)}{v^2(x)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{u(x+h)-u(x) }{h}-\dfrac{u(x)}{v^2(x)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{v(x+h)-v(x)}{h}$$
Los límites restantes corresponden a la definición de derivada:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\dfrac{v(x)}{v^2(x)}\cdot d[u(x)]-\dfrac{u(x)}{v^2(x)}\cdot d[v(x)]$$
Escribiendo como una sola fracción:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\dfrac{v(x)\cdot d[u(x)]-u(x)\cdot d[v(x)]}{v^2(x)}$$
Organizando los factores:
$$d\left[\dfrac{u}{v}\right]=\dfrac{d[u]\cdot v-u\cdot d[v]}{v^2}$$