Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas

Usualmente necesitas las identidades trigonométricas, la mayor cantidad posible; aunque, no siempre logras dar con ellas en las búsquedas. Antes de enumerarlas, se van a clasificar para facilitar las búsquedas en la entrada. Aunque se iniciará con la definición de cada una de las razones trigonométricas.

Razones trigonométricas
Las 6 razones trigonométricas se definen a partir de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide $1$, uno de sus ángulos agudos mide $\theta$, el cateto opuesto a $\theta$ tiene medida $y$ y el cateto adyacente, $x$.

De esta manera se definen las razones trigonométricas:
$$\color{red}{\begin{array}{ccc}
\boxed{\color{blue}{ \sin(\theta)\ =\ \dfrac{y}{1} }}&
\boxed{\color{blue}{ \tan(\theta)\ =\ \dfrac{y}{x} }}&
\boxed{\color{blue}{ \csc(\theta)\ =\ \dfrac{1}{y} }}&
\\[10pt]
\boxed{\color{blue}{ \cos(\theta)\ =\ \dfrac{x}{1} }}&
\boxed{\color{blue}{ \cot(\theta)\ =\ \dfrac{x}{y} }}&
\boxed{\color{blue}{ \sec(\theta)\ =\ \dfrac{1}{x} }}
\end{array}}$$
En la figura adjunta, se pueden observar los segmentos que representan a cada una de ellas. Se ha utilizado una guía de colores para identificar correctamente cada segmento.

• Seno es de color naranja "◙".
• Coseno es de color rojo "◙".
• Tangente es de color celeste "◙".
• Cotangente es de color cafe "◙".
• Cosecante es de color morado "◙".
• Secante es de color verde "◙".

Identidades de complemento de ángulo
Se habla de complemento cuando se calculan las razones con el ángulo agudo restante, es decir, el otro que no es $\theta$ y su valor corresponde a $90^\text{o}-\theta$. Estas son:
$$\color{red}{\begin{array}{cc}
\boxed{\color{blue}{ \sin(90^\text{o}-\theta)\ =\ \cos(\theta) }}&
\boxed{\color{blue}{ \cos(90^\text{o}-\theta)\ =\ \sin(\theta) }}
\\[10pt]
\boxed{\color{blue}{ \tan(90^\text{o}-\theta)\ =\ \cot(\theta) }}&
\boxed{\color{blue}{ \cot(90^\text{o}-\theta)\ =\ \tan(\theta) }}
\\[10pt]
\boxed{\color{blue}{ \csc(90^\text{o}-\theta)\ =\ \sec(\theta) }}&
\boxed{\color{blue}{ \sec(90^\text{o}-\theta)\ =\ \csc(\theta) }}
\end{array}}$$
Identidades de suplemento de ángulo
Se habla de suplemento, es decir, cuando se tiene el valor $180^\text{o}-\theta$. Estas son:
$$\color{red}{\begin{array}{cc}
\boxed{\color{blue}{ \sin(180^\text{o}-\theta)\ =\ \sin(\theta) }}&
\boxed{\color{blue}{ \cos(180^\text{o}-\theta)\ =\ -\cos(\theta) }}
\\[10pt]
\boxed{\color{blue}{ \tan(180^\text{o}-\theta)\ =\ -\tan(\theta) }}&
\boxed{\color{blue}{ \cot(180^\text{o}-\theta)\ =\ -\cot(\theta) }}
\\[10pt]
\boxed{\color{blue}{ \csc(180^\text{o}-\theta)\ =\ \csc(\theta) }}&
\boxed{\color{blue}{ \sec(180^\text{o}-\theta)\ =\ -\sec(\theta) }}
\end{array}}$$
Identidades de paridad
Se refiere a paridad cuando se calcula el opuesto de un ángulo. Estas son:
$$\color{red}{\begin{array}{cc}
\boxed{\color{blue}{ \sin(-\theta)\ =\ -\sin(\theta) }}&
\boxed{\color{blue}{ \csc(-\theta)\ =\ -\csc(\theta) }}
\\[10pt]
\boxed{\color{blue}{ \cos(-\theta)\ =\ \cos(\theta) }}&
\boxed{\color{blue}{ \sec(-\theta)\ =\ \sec(\theta) }}
\\[10pt]
\boxed{\color{blue}{ \tan(-\theta)\ =\ -\tan(\theta) }}&
\boxed{\color{blue}{ \cot(-\theta)\ =\ -\cot(\theta) }}
\end{array}}$$
Identidades de pitagóricas
Se dicen identidades pitagóricas cuando se derivan del teorema de Pitágoras. Estas son:
$$\color{red}{\begin{array}{c}
\boxed{\color{blue}{ \sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)\ =\ 1 }}\\
\boxed{\color{blue}{ 1+\cot^2(\theta)\ =\ \csc^2(\theta) }}\\
\boxed{\color{blue}{ \tan^2(\theta)+1\ =\ \sec^2(\theta) }}\\
\end{array}}$$
Identidades derivadas de las pitagóricas
Cuando se despeja alguno de los elementos de las identidades anteriores se obtienen otras identidades igual de válidas, las cuales se considera como derivadas de las anteriores. Estas son:
$$\color{red}{\begin{array}{cc}
\boxed{\color{blue}{ \sin^2(\theta)\ =\ 1-\cos^2(\theta) }}&
\boxed{\color{blue}{ \cos^2(\theta)\ =\ 1-\sin^2(\theta) }}\\
\boxed{\color{blue}{ 1\ =\ \csc^2(\theta)-\cot^2(\theta) }}&
\boxed{\color{blue}{ \cot^2(\theta)\ =\ \csc^2(\theta)-1 }}\\
\boxed{\color{blue}{ \tan^2(\theta)\ =\ \sec^2(\theta)-1 }}&
\boxed{\color{blue}{ 1\ =\ \sec^2(\theta)-\tan^2(\theta) }}\\
\end{array}}$$
Identidades de suma de ángulos
Si el argumento de las razones es una suma de ángulos, se aplican las siguientes identidades:
$$\color{red}{\begin{array}{c}
\boxed{\color{blue}{ \sin(\alpha+\beta)\ =\ \sin(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\beta)\cos(\alpha)}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cos(\alpha+\beta)\ =\ \cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)}}\\
\boxed{\color{blue}{ \tan(\alpha+\beta)\ =\ \dfrac{\tan(\alpha)+\tan(\beta)}{1-\tan(\alpha)\tan(\beta)} }}\\
\end{array}}$$
Identidades de suma de ángulos
Si el argumento de las razones es una resta de ángulos, se aplican las siguientes identidades:
$$\color{red}{\begin{array}{c}
\boxed{\color{blue}{ \sin(\alpha-\beta)\ =\ \sin(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\beta)\cos(\alpha)}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cos(\alpha-\beta)\ =\ \cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)}}\\
\boxed{\color{blue}{ \tan(\alpha-\beta)\ =\ \dfrac{\tan(\alpha)-\tan(\beta)}{1+\tan(\alpha)\tan(\beta)} }}\\
\end{array}}$$
Identidades de ángulo doble
Si el argumento de las razones es un ángulo doble (está multiplicado por $2$), se aplican las siguientes identidades:
$$\color{red}{\begin{array}{c}
\boxed{\color{blue}{ \sin(2\alpha)\ =\ 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cos(2\alpha)\ =\ \cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)}}\\
\boxed{\color{blue}{ \tan(2\alpha)\ =\ \dfrac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)} }}\\
\boxed{\color{blue}{ \csc(2\alpha)\ =\ \dfrac{\csc(\alpha)\sec(\alpha)}{2}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \sec(2\alpha)\ =\ \dfrac{\csc^2(\alpha)\sec^2(\alpha)}{\csc^2(\alpha)-\sec^2(\alpha)}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cot(2\alpha)\ =\ \dfrac{\cot(\alpha)-\tan(\alpha)}{2} }}\\
\end{array}}$$
Identidades de ángulo medio
Si el argumento de las razones es un ángulo medio (está dividido por $2$), se aplican las siguientes identidades (el signo $\pm$ se refiere a que se aplica para positivo como para negativo):
$$\color{red}{\begin{array}{c}
\boxed{\color{blue}{ \sin\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\ =\ \pm\sqrt{\dfrac{1-\cos(\alpha)}{2}}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cos\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\ =\ \pm\sqrt{\dfrac{1+\cos(\alpha)}{2}}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \tan\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\ =\ \csc(\alpha)-\cot(\alpha)}}\\
\boxed{\color{blue}{ \csc\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\ =\ \pm\dfrac{\sqrt{2+2\cos(\alpha)}}{\sin(\alpha)}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \sec\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\ =\ \pm\dfrac{\sqrt{2-2\cos(\alpha)}}{\sin(\alpha)}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cot\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)\ =\ \csc(\alpha)+\cot(\alpha)}}\\
\end{array}}$$
Identidades de reducción de grado para seno
Usualmente, estas identidades se aplican en el tema de integrales. Estas son:
$$\color{red}{\begin{array}{c}
\boxed{\color{blue}{ \sin^2(\alpha)\ =\ \dfrac{1-\cos(2\alpha)}{2}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \sin^3(\alpha)\ =\ \dfrac{3\sin(\alpha)-\sin(3\alpha)}{4}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \sin^4(\alpha)\ =\ \dfrac{3-4\cos(2\alpha)+\cos(4\alpha)}{8}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \sin^5(\alpha)\ =\ \dfrac{10\sin(\alpha)-5\sin(3\alpha)+\sin(5\alpha)}{16}}}\\
\end{array}}$$
Identidades de reducción de grado para coseno
Usualmente, estas identidades se aplican en el tema de integrales. Estas son:
$$\color{red}{\begin{array}{c}
\boxed{\color{blue}{ \cos^2(\alpha)\ =\ \dfrac{1+\cos(2\alpha)}{2}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cos^3(\alpha)\ =\ \dfrac{3\cos(\alpha)+\cos(3\alpha)}{4}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cos^4(\alpha)\ =\ \dfrac{3+4\cos(2\alpha)+\cos(4\alpha)}{8}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cos^5(\alpha)\ =\ \dfrac{10\cos(\alpha)+5\cos(3\alpha)+\cos(5\alpha)}{16}}}\\
\end{array}}$$
Identidades de resta de senos o cosenos
Estas son de las identidades que permiten transformar una resta en un producto. Estas identidades son:
$$\color{red}{\begin{array}{c}
\boxed{\color{blue}{ \sin(\alpha)+\sin(\beta)\ =\ 2\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cos(\alpha)+\cos(\beta)\ =\ 2\cos\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\\
\end{array}}$$
Identidades de resta de senos o cosenos
Estas son de las identidades que permiten transformar una resta en un producto. Estas identidades son:
$$\color{red}{\begin{array}{c}
\boxed{\color{blue}{ \sin(\alpha)-\sin(\beta)\ =\ 2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cos(\alpha)-\cos(\beta)\ =\ -2\sin\left(\dfrac{\alpha-\beta}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\alpha+\beta}{2}\right)}}\\
\end{array}}$$
Identidades de producto de senos o cosenos
Estas son de las identidades que permiten transformar una producto en una suma o una resta. Estas identidades son:
$$\color{red}{\begin{array}{c}
\boxed{\color{blue}{ \sin(\alpha)\sin(\beta)\ =\ \dfrac{\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)}{2}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cos(\alpha)\cos(\beta)\ =\ \dfrac{\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)}{2}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \sin(\alpha)\cos(\beta)\ =\ \dfrac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}}}\\
\boxed{\color{blue}{ \cos(\alpha)\sin(\beta)\ =\ \dfrac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2}}}\\
\end{array}}$$