Reglas de derivación

Reglas de derivación

Usualmente necesitas las reglas o leyes de derivación, la mayor cantidad posible; aunque, no siempre logras dar con ellas en las búsquedas.

Antes de enumerar las distintas leyes, se deben aclarar los siguientes acuerdos de notación.

• Las funciones se representan con las letras $y$, $u$ y $v$. Todas ellas son funciones de variable $x$; es decir, las funciones $y(x)$, $u(x)$ y $v(x)$. 
• Las cantidades constantes se representan con las letras $a$, $c$, $n$ y $m$.

Operaciones con derivadas
La adición, sustracción, multiplicación y división de derivadas están definidas por las siguientes reglas. Puedes encontrar las demostraciones de estas aquí.

• Suma o resta: La derivada de una suma (o resta) es la suma (o resta) de las derivadas $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[u\pm v]\ =\ du\pm dv  }}}$$
• Multiplicación: La derivada de un producto es la suma de la derivada de la primer función por la derivada de la segunda, y la primer función por la derivada de la segunda $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[u\cdot v]\ =\ du\cdot v\ +\ u\cdot dv  }}}$$
• División: La derivada de un cociente es la resta de la derivada de la primer función por la derivada de la segunda, y la primer función por la derivada de la segunda.Todo dividido por el cuadrado de la segunda función $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d\left[\dfrac{u}{v}\right]\ =\ \dfrac{du\cdot v\ -\ u\cdot dv}{v^2}  }}}$$

Derivadas básicas
Esta categoría es una elección personal de las derivadas más importantes y, las cuales, se deben memorizar. Si te preguntas, ¿por qué? La respuesta está en la práctica, los ejercicios de derivación complejos llegan a un punto donde se reducen a estos casos básicos. Puedes encontrar las demostraciones de estas aquí.

• Derivada de una constante $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ [c]^\prime\ =\ 0  }}}$$
• Derivada de un monomio de grado $n$: $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ [x^n]^\prime\ =\ n\cdot x^{n-1}  }}}$$
• Derivada de una constante por una función $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ [af(x)]^\prime\ =\ a\cdot[f(x)]^\prime  }}}$$
• Regla de la cadena (para composición de funciones) $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \big[ f(u) \big]^\prime\ =\ f^\prime(u)\cdot[u]^\prime  }}}$$

Derivadas de las funciones elementales
Las funciones elementales se pueden catalogar en los siguientes grupos, de acuerdo a su criterio.

• Polinomiales: Formadas por polinomios
  $$\color{blue}{ p(x)\ =\ a_1\cdot x^n+a_2\cdot x^{n-1}+\dots+a_n\cdot x+a_{n+1} }$$
  Su derivada corresponde a la expresión:
  $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ [p(x)]^\prime\ =\ a_1n\cdot x^{n-1}+a_2(n-1)\cdot x^{n-2}+\dots+a_n }}}$$
  
• Racionales: Formadas por cocientes polinomiales
  $$\color{blue}{ r(x)\ =\ \dfrac{u}{v} }$$
  Su derivada corresponde a la expresión:
  $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ [r(x)]^\prime\ =\ \dfrac{[u]^\prime\cdot v-u\cdot[v]^\prime}{(v)^2} }}}$$
  
• Irracionales: Formadas por radicales
  $$\color{blue}{ i(x)\ =\ \sqrt[n]{u}  }$$
  Su derivada corresponde a la expresión:
  $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ [i(x)]^\prime\ =\ \dfrac{[u]^\prime}{n\cdot\sqrt[n]{u^{n-1}}} }}}$$
  
• Exponenciales: Formadas por potencias con base constante
  $$\color{blue}{  e(x)\ =\ a^{u} }$$
  Su derivada corresponde a la expresión:
  $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ [e(x)]^\prime\ =\ \ln(a)\cdot a^{u}\cdot[u]^\prime }}}$$
• Logarítmicas: Formadas por logaritmos de base constante
  $$\color{blue}{  l(x)\ =\ \log_a{(u)} }$$
  Su derivada corresponde a la expresión:
  $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ [l(x)]^\prime\ =\ \dfrac{[u]^\prime}{\ln(a)\cdot u} }}}$$
  
• Valor absoluto: Formadas por funciones en valor absoluto
  $$\color{blue}{  v(x)\ =\ \big| u \big| }$$
  Su derivada corresponde a la expresión:
  $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ [v(x)]^\prime\ =\ \dfrac{u\cdot[u]^\prime}{\big| u \big|} }}}$$
  
• Inversas: Formadas por las funciones inversas de cualquier otra función
  $$\color{blue}{  i(x)\ =\ f^{-1}(x) }$$
  Su derivada corresponde a la expresión:
  $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ [i(x)]^\prime\ =\ \dfrac{1}{f^\prime\big( f^{-1}(x) \big)} }}}$$
  
• Trigonométricas: Formadas por alguna de las 6 razones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cosecante, secante o cotangente
  $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \begin{array}{lcl} t_1(x)\ =\ \sin(u) &\Longrightarrow& [t_1(x)]^{\prime}\ =\ \cos(u)\cdot [u]^\prime \\ t_2(x)\ =\ \cos(u) &\Longrightarrow& [t_2(x)]^{\prime}\ =\ -\sin(u)\cdot [u]^\prime \\ t_3(x)\ =\ \tan(u) &\Longrightarrow& [t_3(x)]^{\prime}\ =\ \sec^2(u)\cdot [u]^\prime \\ t_4(x)\ =\ \csc(u) &\Longrightarrow& [t_4(x)]^{\prime}\ =\ -\csc(u)\cdot\cot(u)\cdot [u]^\prime \\ t_5(x)\ =\ \sec(u) &\Longrightarrow& [t_5(x)]^{\prime}\ =\ \sec(u)\cdot\tan(u)\cdot [u]^\prime \\ t_6(x)\ =\ \cot(u) &\Longrightarrow& [t_6(x)]^{\prime}\ =\ -\csc^2(u)\cdot [u]^\prime \\ \end{array} }}}$$
• Trigonométricas inversas: Formadas arco 
  $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \begin{array}{lcl} t_1(x)\ =\ \arcsin(u) &\Longrightarrow& [t_1(x)]^{\prime}\ =\ \dfrac{[u]^\prime}{\sqrt{1-u^2}} \\ t_2(x)\ =\ \arccos(u) &\Longrightarrow& [t_2(x)]^{\prime}\ =\ -\dfrac{[u]^\prime}{\sqrt{1-u^2}} \\ t_3(x)\ =\ \arctan(u) &\Longrightarrow& [t_3(x)]^{\prime}\ =\ \dfrac{[u]^\prime}{1+u^2} \\ t_4(x)\ =\ \text{arc}\csc(u) &\Longrightarrow& [t_4(x)]^{\prime}\ =\ \dfrac{[u]^\prime}{|u|\cdot\sqrt{u^2-1}} \\ t_5(x)\ =\ \text{arc}\sec(u) &\Longrightarrow& [t_5(x)]^{\prime}\ =\ -\dfrac{[u]^\prime}{|u|\cdot\sqrt{u^2-1}} \\ t_6(x)\ =\ \text{arc}\cot(u) &\Longrightarrow& [t_6(x)]^{\prime}\ =\ -\dfrac{[u]^\prime}{1+u^2} \\ \end{array} }}}$$
• Hiperbólicas: Formadas por seno, coseno, tangente, cosecante, secante o cotangente hiperbólicos
  $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \begin{array}{lcl} h_1(x)\ =\ \sinh\big( f(x) \big) &\Longrightarrow& [h_1(x)]^{\prime}\ =\ \cosh(u)\cdot [u]^\prime \\ h_2(x)\ =\ \cosh\big( f(x) \big) &\Longrightarrow& [h_2(x)]^{\prime}\ =\ -\sinh(u)\cdot [u]^\prime \\ h_3(x)\ =\ \tanh\big( f(x) \big) &\Longrightarrow& [h_3(x)]^{\prime}\ =\ \sec\text{h}^2(u)\cdot [u]^\prime \\ h_4(x)\ =\ \csc\text{h}\big( f(x) \big) &\Longrightarrow& [h_4(x)]^{\prime}\ =\ -\csc\text{h}(u)\cdot\cot\text{h}(u)\cdot [u]^\prime \\ h_5(x)\ =\ \sec\text{h}\big( f(x) \big) &\Longrightarrow& [h_5(x)]^{\prime}\ =\ -\sec\text{h}(u)\cdot\tanh(u)\cdot [u]^\prime \\ h_6(x)\ =\ \cot\text{h}\big( f(x) \big) &\Longrightarrow& [h_6(x)]^{\prime}\ =\ -\csc\text{h}^2(u)\cdot [u]^\prime \\ \end{array} }}}$$
  
• Hiperbólicas inversas: Formadas por las inversas de las trigonométricas inversas
  $$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ \begin{array}{lcl} h_1(x)\ =\ \text{ArcSinh}\big( f(x) \big) & \Longrightarrow & [h_1(x)]^{\prime}\ =\ \dfrac{[u]^\prime}{\sqrt{u^2+1}} \\[10pt] h_2(x)\ =\ \text{ArcCosh}\big( f(x) \big) & \Longrightarrow & [h_2(x)]^{\prime}\ =\ \dfrac{[u]^\prime}{\sqrt{u^2-1}} \\[10pt] h_3(x)\ =\ \text{ArcTanh}\big( f(x) \big) & \Longrightarrow & [h_3(x)]^{\prime}\ =\ \dfrac{[u]^\prime}{1-u^2} \\[10pt] h_4(x)\ =\ \text{ArcCsch}\big( f(x) \big) & \Longrightarrow & [h_4(x)]^{\prime}\ =\ -\dfrac{[u]^\prime}{|u|\cdot\sqrt{1+u^2}} \\[10pt] h_5(x)\ =\ \text{ArcSech}\big( f(x) \big) & \Longrightarrow & [h_5(x)]^{\prime}\ =\ -\dfrac{[u]^\prime}{u\cdot\sqrt{1-u^2}} \\[10pt] h_6(x)\ =\ \text{ArcCoth}\big( f(x) \big) & \Longrightarrow & [h_6(x)]^{\prime}\ =\ \dfrac{[u]^\prime}{1-u^2} \\[10pt] \end{array} }}}$$

Derivación logarítmica
Este tipo de derivación se utiliza cuando se tienen potencias, cuya base y exponente son ambos funciones. Este procedimiento consiste en aplicar logaritmos en ambos miembros de la igualdad, luego se aplican propiedades de logaritmos para "bajar" el exponente y, finalmente, se deriva.
$$\color{blue}{  y\ =\ u^{v} }$$
Se aplican logaritmos en ambos lados:
$$\ln(y)\ =\ \ln\big( u^{v}\big)$$
Se "baja" la función del exponente con la propiedad de logaritmos:
$$\ln(y)\ =\ v\cdot\ln(u)$$
Se deriva en ambos lados (derivada del logaritmo a la izquierda, derivada del producto a la derecha):
$$\dfrac{[y]^\prime}{y}\ =\ [v]^\prime\cdot\ln(u)+v\cdot\dfrac{[u]^\prime}{u}$$
Se multiplica todo la ecuación por $y$ para eliminar el denominador de la izquierda:
$$[y]^\prime\ =\ y\left( [v]^\prime\cdot\ln(u)+v\cdot\dfrac{[u]^\prime}{u} \right)$$
Entonces la derivada de corresponde a la expresión:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ [y]^\prime\ =\ \ u^v\left( [v]^\prime\cdot\ln(u)+v\cdot\dfrac{[u]^\prime}{u} \right) }}}$$
Derivación implícita
La derivación implícita se aplica cuando se tiene una ecuación con variables $x$ y $y$; en la cual, $y$ es una función de $x$, o sea, $y(x)$ no es una constante. Además, resulta complicado despejar $y$ en la ecuación.

En estos casos se deriva en ambos miembros de la igualdad y se debe aplicar regla de la cadena cuando se deriva algún término con $y$, la $x$ se deriva normalmente. Tras realizar el proceso de derivación, es necesario despejar $y^\prime$, la expresión a la cual quede igualada representa la derivada.