Nociones básicas del Álgebra

Nociones básicas del álgebra

Etimología
La palabra Álgebra proviene del árabe "لجبر" (al-ŷabr). Este es una simplificación del título de una libro llamado "كتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة" (Kitāb al-mukhtasar fī hisāb al-ğabr wa-l-muqābalah), cuya traducción sería "Libro conciso sobre la reducción por completación y balance". La obra recopilaba las leyes que rigen la manipulación de las cantidades, escrito por el célebre matemático y astrónomo árabe "الخوارزمي ابو" (Abu Al-Khwārizmī).

¿Qué es el álgebra?
El álgebra es una rama de la Matemática. Esta estudia las reglas y leyes sobre la manipulación de cantidades conocidas y desconocidas mediante las operaciones algebraicas.

Elementos del álgebra
En el álgebra se tienen los siguientes elementos (con su respectiva notación):

• Constantes (cantidades conocidas): Se utilizan los números o las primeras letras del abecedario.
$3$, $\dfrac{2}{5}$, $-5$, $\sqrt{7}$, $13^4$, $a$, $b$, $c$, $d$ y $n$


• Variables (cantidades desconocidas): Se utilizan las última letras del abecedario.
$u$, $v$, $w$, $x$, $y$ y $z$


• Operaciones: Son las operaciones adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicalización.
$+$, $-$, $\cdot$ y $\div$


• Signos de agrupación: Son los paréntesis redondos, paréntesis cuadrados o corchetes, y las llaves.
 $(\ \ \ )$, $[\ \ \ ]$ y $\{\ \ \ \}$

Usualmente, la multiplicación se representa con el símbolo "$\times$". Sin embargo, para evitar confusiones con la letra $x$, utilizada en cantidades desconocidas, se prefiere utilizar un punto "$\cdot$" ubicado en la mitad del renglón. Además, en los casos cuando no hay ambigüedad, se puede prescindir del signo de multiplicación; es decir, las siguientes expresiones significan lo mismo
$$\begin{array}{rcl}
2\cdot n &=& 2n\\
c\cdot x &=& cx\\
3\cdot(x+1) &=& 3(x+1)\\
(k-2)\cdot(n-2) &=& (k-2)(n-2)\\
\end{array}$$
Aunque, se debe tener claro claro, que esta supresión no siempre es posible. Por ejemplo, cuando el signo de multiplicar está entre dos números se debe indicar, así no se confunde $21\cdot15$ con $2115$.

Expresiones algebraicas
Las expresiones algebraicas son todas aquellas expresiones cuyo contenido posea cantidades conocidas, desconocidas, operaciones y signos de agrupación. Aunque no es necesaria la presencia de todos estos elementos. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son las siguientes:
$$\color{red}{\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\color{black}{7} & \color{black}{\dfrac{3}{2}} & \color{black}{-2.5} & \color{black}{(-12)^3} \\\hline
\color{black}{c} & \color{black}{-md^5} & \color{black}{\dfrac{a}{n}} & \color{black}{b(-k)^n} \\\hline
\color{black}{\dfrac{x}{y}} & \color{black}{-z^2} & \color{black}{uv} & \color{black}{-ax^w} \\\hline
\color{black}{4a+x^2} & \color{black}{7-bh^3} & \color{black}{3u+4v} & \color{black}{\dfrac{2x-35}{4+a}}  \\\hline
\end{array}}$$
Observa con atención, una letra o un número solos (ya sean positivos o negativos) son considerados como expresiones algebraicas.

Términos de una expresión algebraica
Los términos son números y letras cuyas operaciones no incluyen a la adición ni a la sustracción. Es decir, los signo de adición "$+$" y de sustracción "$-$", separan a los términos de una expresión algebraica.
$$\color{red}{\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\color{blue}{\text{Expresión algebraica}} & \color{blue}{1^\text{o}\text{ término}} & \color{blue}{2^\text{o}\text{ término}} & \color{blue}{3^\text{o}\text{ término}}\\ \hline
\color{black}{ab-3xy^3+2m^7} & \color{black}{ab} & \color{black}{-3xy^3} & \color{black}{2m^7} \\\hline
\color{black}{2a(x+y-6)} & \color{black}{2ax} & \color{black}{2ay} & \color{black}{-12a} \\\hline
\color{black}{(a-b)^2} & \color{black}{a^2} & \color{black}{-2ab} & \color{black}{b^2} \\\hline
\color{black}{\dfrac{3ay+5bx}{mn}-7ab} & \color{black}{\dfrac{3ay}{mn}} & \color{black}{\dfrac{5bx}{mn}} & \color{black}{-7ab} \\\hline
\color{black}{\dfrac{5-2p}{2+a}+13p^2} & \color{black}{\dfrac{5}{2+a}} & \color{black}{\dfrac{-2p}{2+a}} & \color{black}{13p^2} \\\hline
\end{array}}$$
Observa con atención los ejemplos anteriores, al separar los términos de una expresión algebraica se deben resolver las multiplicaciones (como en el segundo ejemplo):
$$2a(x+y-6)\ =\ 2ax+2ay-12a$$
Después de resolver la multiplicación se pueden separar los términos. Esto mismo se aplica en el tercer ejemplo:
$$(a-b)^2\ =\ a^2-2ab+b^2$$
Para los casos con fracciones, solo se consideran las sumas y restas en el numerador (la parte de arriba); el denominador se arrastra intacto, como se hizo con los últimos ejemplos:
$$\begin{array}{rcl}
\dfrac{3ay+5bx}{mn}-7ab &=& \dfrac{3ay}{mn}+\dfrac{5bx}{mn}-7ab\\[10pt]
\dfrac{5-2p}{2+a}+13p^2 &=& \dfrac{5}{2+a}-\dfrac{2p}{2+a}+13p^2\\
\end{array}$$

Términos semejantes
En Matemática, se dice que 2 términos son semejantes cuando poseen las mismas variables y los exponentes correspondientes, también lo son. Algunos ejemplos de términos semejantes son los siguientes:
$$\begin{array}{ccc}
-17.2  &\text{ y }& \dfrac{3}{2}  \\[15pt]
3x^2 &\text{ y }&  -x^2   \\[15pt]
-4b^7a  &\text{ y }&  5ab^7    \\[15pt]
\dfrac{5h^3}{2}  &\text{ y }&  (2h)^3  \\[15pt]
\end{array}\hspace{2cm}
\begin{array}{ccc}
0  &\text{ y }& \sqrt[4]{7.25}  \\[15pt]
-xyz &\text{ y }&  -yxz   \\[15pt]
a^6b^2c^4  &\text{ y }&  (a^3bc^2)^2    \\[15pt]
\dfrac{kh^5}{h^3}  &\text{ y }&  \dfrac{kh^2}{7}  \\[15pt]
\end{array}
$$
Detalles a considerar cuando se buscan parejas de términos semejantes:

• Las dos parejas de la primera fila están compuestas por números. Todos los números son semejantes ente sí, sin importar signo, decimales, fracciones, potencias o radicales.
• La posición de las variables no tiene importancia, mientras cada una de ellas posea el mismo exponente que su pareja. Esto se cumple gracias a la propiedad conmutativa de la multiplicación: $$\color{blue}{a^nc^m=c^ma^n}$$
• Si hay paréntesis afectados por un exponente, se debe "repartir" el exponente a cada factor aplicando la propiedad de potencias: $$\color{blue}{(a^nc^m)^r=a^{nr}c^{mr}}$$
• Si hay fracciones con variables en numerador y denominador, se debe aplicar la siguiente propiedad de potencias, y luego, se comparan las variables y los exponentes: $$\color{blue}{\dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}}$$

Cantidad de términos
La cantidad de términos de una expresión algebraica corresponde a la cantidad de términos no semejantes. Es decir, cuando se cuentan los términos de una expresión los términos semejantes entre sí, cuentan como un solo término. Por ejemplo:
$$\begin{array}{lcl}
6x^2+4y-3xy  && \text{Tiene }3\text{ términos.}  \\[15pt]
3x^2+3x-x^3+3 && \text{Tiene }4\text{ términos.}  \\[15pt]
a^3b^2-5a^3b^2-a^2b^3 && \text{Tiene }2\text{ términos.}  \\[15pt]
6x+\dfrac{x}{4}+\sqrt{2}x && \text{Tiene }1\text{ término.}  \\[15pt]
(2h)^3-3h^3+5h^4-1 && \text{Tiene }3\text{ términos.}  \\[15pt]
bh^2-b^2h  && \text{Tiene }2\text{ términos.}  \\[15pt]
5m^3n^2k-5m^3n^2+5m^3n^2k && \text{Tiene }2\text{ términos.}  \\[15pt]
\end{array}
$$