Desigualdades cuadráticas (parte 1)

Desigualdades cuadráticas (parte 1)

Las desigualdades (o inecuaciones) cuadráticas se refieren a las expresiones que involucran polinomios de segundo grado, usualmente, con una sola variable. También se pueden plantear inecuaciones con dos variables, las cuales representan una porción del plano, aunque más adelante se detallará esta situación.

Esta publicación dedicará primero una explicación sencilla para las desigualdades cuadráticas con una sola variable; después se abarca un espacio para las desigualdades con dos variables. Esto para facilitar al lector la comprensión de los temas y un orden de dificultad progresivo.

NOTA: Si deseas pasar directamente a la forma de resolverlas, busca el título que necesitas.

Desigualdades
Las desigualdades entre polinomios siempre una de estas 4 posibilidades para los polinomios $p(x)$ y $q(x)$ (estos polinomios pueden ser de cualquier grado):
$$\color{red}{\begin{array}{cc}
\boxed{\color{blue}{ p(x)\ <\ q(x) }} &
\boxed{\color{blue}{ p(x)\ >\ q(x) }}\\[5pt]
\boxed{\color{blue}{ p(x)\ \leq\ q(x) }} &
\boxed{\color{blue}{ p(x)\ \geq\ q(x) }}
\end{array}}$$
En todos estos casos, se puede restar en ambos lados uno de los polinomios para dejar la desigualdad con un $0$ en la derecha o en la izquierda (a gusto de la persona). En este caso, se dejará el cero en la izquierda:
$$\color{red}{\begin{array}{cc}
\boxed{\color{blue}{ 0\ <\ q(x)-p(x) }} &
\boxed{\color{blue}{ 0\ >\ q(x)-p(x) }}\\[5pt]
\boxed{\color{blue}{ 0\ \leq\ q(x)-p(x) }} &
\boxed{\color{blue}{ 0\ \geq\ q(x)-p(x) }}
\end{array}}$$
Ahora bien, se considera un ejercicio de desigualdades cuadráticas si al resolver la resta de polinomios, el resultado es un polinomio de segundo grado, de la forma $q(x)-p(x)=ax^2+bx+c$.

Todo esto se menciona para indicar, si al desarrollar todas las multiplicaciones entre polinomios y trasladar los términos a un solo lado (izquierdo o derecho, según lo desees), se obtiene un polinomio de segundo grado, se trata de una desigualdad cuadrática.

Desigualdades cuadráticas
Las desigualdades cuadráticas, tras realizar una simplificación, toman la forma de una de estas 4 situaciones:
$$\color{red}{\begin{array}{cc}
\boxed{\color{blue}{ 0\ <\ ax^2+bx+c}} &
\boxed{\color{blue}{ 0\ >\ ax^2+bx+c }}\\[5pt]
\boxed{\color{blue}{ 0\ \leq\ ax^2+bx+c }} &
\boxed{\color{blue}{ 0\ \geq\ ax^2+bx+c }}
\end{array}}$$
Ahora bien, la forma más sencilla de encontrar la solución es utilizando la Fórmula General, un resultado que se aplica a los polinomios de la forma $ax^2+bx+c=0$ (te resulta familiar, ¿verdad?). Esta fórmula indica los valores cuando el polinomio cuadrático toma el valor de $0$, y se obtienen con las expresiones:
$$\color{red}{\begin{array}{cc}
\boxed{\color{blue}{ x=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} }} &
\boxed{\color{blue}{ x=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} }}
\end{array}}$$
Esto es parte de la solución, pero el verdadero secreto para resolverlas fácilmente viene a continuación.

La concavidad
Los polinomios cuadráticos también se conocen como parábolas (aunque este término se utiliza cuando hay dos variables). Las parábolas tienen concavidad, una característica que indica hacia que dirección se expande hasta el infinito, ya sea hacia arriba o hacia abajo (hay más direcciones pero estas bastan para los polinomios de una variable).

Si el valor de $a$ es positivo, queda cóncava hacia arriba.

Si el valor de $a$ es negativo, queda cóncava hacia abajo.

Los puntos marcados con rojo, representan a los valores obtenidos con la Fórmula General. Para dar la solución, solo basta considerar la concavidad y las soluciones del polinomio $ax^2+bx+c=0$. Para ejemplificar esto, considera estos ejemplos.

Ejemplo 1 $$4x^2-2x+1<x+7$$

Como la desigualdad no posee un $0$ a la derecha ni a la izquierda, se restan los términos de la derecha para colocar al cero en esa posición.
$$4x^2-2x+1-x-7<0$$
Se simplifican los términos semejantes:
$$4x^2-3x-6<0$$
Ahora se aplica la Fórmula General para encontrar las soluciones, recuerda que $a=4$, $b=-3$ y $c=-6$:
$$\begin{array}{cc}
x=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}  &
x=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{array}$$
Sustituyendo los datos mencionados:
$$\begin{array}{cc}
x=\dfrac{-(-3)-\sqrt{(-3)^2-4(4)(-6)}}{2(4)}  &
x=\dfrac{-(-3)+\sqrt{(-3)^2-4(4)(-6)}}{2(4)}
\end{array}$$
Resolviendo las operaciones se llega a los resultados:
$$\begin{array}{cc}
x=\dfrac{3-\sqrt{105}}{8}  &
x=\dfrac{3+\sqrt{105}}{8}
\end{array}$$
Ahora, como $a$ es positivo, la parábola es cóncava hacia arriba y como la desigualdad es menor que cero:
$$4x^2-3x-6<0$$
La respuesta es la sección debajo de la línea horizontal, es decir, lo que se encuentra entre los puntos obtenidos, así la respuesta corresponde a:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ S\ =\ \left] \dfrac{3-\sqrt{105}}{8},\dfrac{3+\sqrt{105}}{8} \right[ }}}$$

Ejemplo 2 $$x^2+3x-8>2x-7$$

Como la desigualdad no posee un $0$ a la derecha ni a la izquierda, se restan los términos de la derecha para colocar al cero en esa posición.
$$x^2+3x-8-2x+7>0$$Se simplifican los términos semejantes:
$$x^2+x-1>0$$
Ahora se aplica la Fórmula General para encontrar las soluciones, recuerda que $a=1$, $b=1$ y $c=-1$:
$$\begin{array}{cc}
x=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}  &
x=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{array}$$
Sustituyendo los datos mencionados:
$$\begin{array}{cc}
x=\dfrac{-(1)-\sqrt{(1)^2-4(1)(-1)}}{2(1)}  &
x=\dfrac{-(1)+\sqrt{(1)^2-4(1)(-1)}}{2(1)}
\end{array}$$
Resolviendo las operaciones se llega a los resultados:
$$\begin{array}{cc}
x=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}  &
x=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}
\end{array}$$
Ahora, como $a$ es positivo, la parábola es cóncava hacia arriba y como la desigualdad es mayor que cero:
$$x^2+x-1>0$$
La respuesta es la sección encima de la línea horizontal, es decir, lo que se encuentra hacia los infinitos, así la respuesta corresponde a:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ S\ =\ \left] -\infty,\dfrac{3-\sqrt{105}}{8}\right[\ \cup\ \left]\dfrac{3+\sqrt{105}}{8},+\infty \right[ }}}$$

Ejemplo 3 $$(x+1)(x-2)>3x^2+2x-2$$

Como la desigualdad no posee un $0$ a la derecha ni a la izquierda, se restan los términos de la derecha para colocar al cero en esa posición.
$$(x+1)(x-2)-3x^2-2x+2>0$$
Se resuelve la multiplicación de polinomios:
$$x^2-x-2-3x^2-2+2>0$$
Se simplifican los términos semejantes:
$$-2x^2-3x>0$$
Ahora se aplica la Fórmula General para encontrar las soluciones, recuerda que $a=-2$, $b=-3$ y $c=0$:
$$\begin{array}{cc}
x=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}  &
x=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{array}$$
Sustituyendo los datos mencionados:
$$\begin{array}{cc}
x=\dfrac{-(-3)-\sqrt{(-3)^2-4(-2)(0)}}{2(-2)}  &
x=\dfrac{-(-3)+\sqrt{(-3)^2-4(-2)(0)}}{2(-2)}
\end{array}$$
Resolviendo las operaciones se llega a los resultados:
$$\begin{array}{cc}
x=\dfrac{-3}{2}  &
x=0
\end{array}$$
Ahora, como $a$ es negativo, la parábola es cóncava hacia abajo y como la desigualdad es mayor que cero:
$$-2x^2-3x>0$$
La respuesta es la sección encima de la línea horizontal, es decir, lo que se encuentra entre los puntos, así la respuesta corresponde a:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ S\ =\ \left] -\dfrac{3}{2},0 \right[ }}}$$

NOTA: En todas las respuestas los corchetes se colocaron abiertos, ¿es siempre así? No, se colocan cerrados (en los valores numéricos) cuando se utilicen los signos de desigualdad $\leq$ o $\geq$.

Este método es equivalente a cualquier otro utilizado para resolver desigualdades cuadráticas de una sola variable. Puedes intentar resolver estos mismos ejercicios con otros métodos y vas a llegar a la misma solución.