Monomios, binomios, trinomios y polinomios
Los polinomios son expresiones algebraicas con cierta característica particular, la cual, los diferencia de las demás. El estudio de los polinomios se utiliza para comprender mejor las reglas del álgebra; este apartado contiene la bases de este estudio, las definiciones, propiedades y ejemplos de los polinomios y sus partes.
Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica cuyas variables tienen exponentes positivos, en cada uno de lso términos. Además, si aparecen fracciones, las variables están en el numerador. Los siguientes son ejemplos de polinomios:
$$\color{blue}{\begin{array}{ccccc}
3x^2+\dfrac{7y}{2}-4 &\hspace{5mm}& 43+\dfrac{3}{2} &\hspace{5mm}& \dfrac{4}{3}ab \\[15pt]
9 &\hspace{5mm}& 3hk^3+2k^2+\dfrac{3}{4} &\hspace{5mm}& 1+n+\dfrac{n^2}{2}+\dfrac{n^3}{3} \\[15pt]
\dfrac{5}{2t^{-2}}+6u-z^9 &\hspace{5mm}& h+\dfrac{3rt}{4r} &\hspace{5mm}& (p-q)^6 -3^{-8}\\[15pt]
\end{array}}$$
Observa que, los polinomios pueden tener cualquier cantidad de términos, mientras se cumpla con la condición de las variables. Por si te lo estás preguntando, en la tercera fila aparecen expresiones con exponentes negativos o variables en denominador, pues estos son casos especiales; a continuación se explica el por que clasifican como polinomios.
En la expresión $\dfrac{5}{2\color{red}{t^{-2}}}+6u-z^9$ aparece una variable con exponente negativo y está en el denominador de una fracción. Sin embargo, existe una propiedad de potencias para "convertir" los exponentes negativos en positivos, con un ligero cambio en la base. Esta propiedad dice: $\color{blue}{\dfrac{1}{a^n}=a^{-n}}$, entonces la expresión se puede reescribir como el polinomio:
$$\dfrac{5\color{red}{t^{2}}}{2}+6u-z^9$$
La segunda expresión $h+\dfrac{3rt}{4\color{red}{r}}$ aparece una variable en el denominador de una fracción. Sin embargo, esta misma variable aparece también en el numerador, esto se puede simplificar con una propiedad. Esta enuncia: $\color{blue}{\dfrac{ab}{cb}=\dfrac{a}{c}}$, entonces la expresión se puede reescribir como el polinomio:
$$h+\dfrac{3t}{4}$$
En el último caso, $(p-q)^6 -3^{-8}$ no hay problema alguno, porque el exponente negativo le "pertenece" a una constante, no a una variable. La restricción de los polinomios es, únicamente, para las variables.
Recuerda siempre realizar las 2 propiedades mencionadas antes, porque suelen utilizarse para verificar si una expresión es, o no, un polinomio.
Clasificación de los polinomios
Los polinomios suelen clasificarse según la cantidad de términos no semejantes que poseen. Recuerda que si hay varios términos semejantes, todos estos se consideran como un único termino.
- Monomio: Polinomio con 1 término.
$$\color{blue}{ 1 }$$ - Binomio: Polinomio con 2 términos no semejantes. $$\color{blue}{ 1+2x }$$
- Trinomio: Polinomio con 3 términos no semejantes.
$$\color{blue}{ 1+2x+3x^2 }$$ - Tetranomio: Polinomio con 4 términos no semejantes. $$\color{blue}{ 1+2x+3x^2+4x^3 }$$
- Pentanomio: Polinomio con 5 términos no semejantes. $$\color{blue}{ 1+2x+3x^2+4x^3+5x^4 }$$
- Polinomio: Cuando se de cualquier cantidad de términos. $$\color{blue}{ 1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+6x^5+7x^6+8x^7 }$$
Los monomios son lo polinomios más fáciles de analizar, operar y estudiar. Estos tienen una estructura básica, poseen: coeficiente numérico, factor literal y grado.
- Coeficiente numérico: Son los números o constantes y signo del monomio.
- Factor literal: Son las variables y los exponentes de estas.
- Grado: Es la suma de los exponentes de las variables.
$$\color{red}{\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\color{blue}{\text{Monomio}} & \color{blue}{\text{Coeficiente}} & \color{blue}{\text{Literal}} & \color{blue}{\text{Grado}} \\\hline
\color{black}{ 7 } & \color{black}{ 7 } & \color{black}{ \text{No tiene.} } & \color{black}{ 0 } \\\hline
\color{black}{ n } & \color{black}{ 1 } & \color{black}{ n } & \color{black}{ 1 } \\\hline
\color{black}{ 31h^2 } & \color{black}{ 31 } & \color{black}{ h } & \color{black}{ 2 } \\\hline
\color{black}{ -k^7gt^5} & \color{black}{ -1 } & \color{black}{ h^7gt^5 } & \color{black}{ 13 } \\\hline
\color{black}{ \dfrac{4x^2z^3}{3} } & \color{black}{ \dfrac{4}{3} } & \color{black}{ x^2z^3 } & \color{black}{ 5 } \\\hline
\color{black}{ \dfrac{y^6}{3} } & \color{black}{ \dfrac{1}{3} } & \color{black}{ y^6 } & \color{black}{ 6 } \\\hline
\end{array}}$$
Observa, los números sin variables no poseen factor literal y su grado siempre es $0$. Así como, también, las variables sin coeficiente o sin exponente escrito, llevan un $1$. Además, el coeficiente numérico se "lleva" el signo del monomio.
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