Derivación: demostraciones (parte 3)

Derivación: demostraciones (parte 3)

Nota Aclaratoria
En esta sección se toma como postulados, las propiedades de los números reales y de los límites; esto, con el fin de permitir una claridad en cada una de las demostraciones. Además, el concepto de derivada también se utilizará con mayor fuerza, el cual puedes consultar aquí, el cual, corresponde a
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ f^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} }}}$$
Aclarado esto, se procede a las demostraciones de las reglas de derivación, las cuales puedes consultar aquí. Además, las letras $y$, $u$ y $v$, representan funciones de variable $x$; es decir, $y=y(x)$, $u=u(x)$ y $v=v(x)$; todas ellas derivables en un intervalo $I$ y bien definidas. Además, las letras $a$, $c$ y $n$ son cantidades constantes.

Derivadas de las funciones elementales (parte A)
En esta sección se demuestran las derivadas de las funciones elementales, en estas demostraciones se utilizan tanto la definición de derivada, las derivadas de operaciones (suma, resta, producto y cociente) y las derivadas básicas. Además, se asumen todas las propiedades de límites y límites especiales usados en las siguientes demostraciones.

• Derivada de funciones polinomiales
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d\left[ \sum_{i=0}^n a_ix^{n-i} \right]\ =\ \sum_{i=0}^n a_i(n-i)\cdot x^{n-i-1} }}}$$
Se aplica la derivada de la suma:
$$d\left[ \sum_{i=0}^n a_ix^{n-i} \right]\ =\ \sum_{i=0}^n d[a_ix^{n-i}]$$
Se aplica la derivada de una constante por una función:
$$d\left[ \sum_{i=0}^n a_ix^{n-i} \right]\ =\ \sum_{i=0}^n a_i\cdot d[x^{n-i}]$$
Se aplica la derivada de un monomio de grado $n$:
$$d\left[ \sum_{i=0}^n a_ix^{n-i} \right]\ =\ \sum_{i=0}^n a_i(n-i)\cdot x^{n-i-1}$$

• Derivada de funciones racionales
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d\left[ \dfrac{u}{v} \right]\ =\ \dfrac{d[u]\cdot v-u\cdot d[v]}{v^2} }}}$$
Esta derivada ya está demostrada, como la derivada de un cociente.

• Derivada de funciones irracionales
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d\left[ \sqrt[n]{u} \right]\ =\ \dfrac{d[u]}{n\cdot\sqrt[n]{u^{n-1}}} }}}$$
Se expresa el radical como una potencia:
$$d\left[ \sqrt[n]{u} \right]\ =\ d\left[ u^\frac{1}{n} \right]$$
Se aplican la derivada de un monomio y la regla de la cadena:
$$d\left[ \sqrt[n]{u} \right]\ =\ \dfrac{1}{n}\cdot u^{\frac{1}{n}-1}\cdot d[u]$$
Se realiza la resta de fracciones del exponente:
$$d\left[ \sqrt[n]{u} \right]\ =\ \dfrac{1}{n}\cdot u^{\frac{1-n}{n}}\cdot d[u]$$
Se factoriza un $-1$ en el numerador de la fracción del exponente:
$$d\left[ \sqrt[n]{u} \right]\ =\ \dfrac{1}{n}\cdot u^{-\frac{n-1}{n}}\cdot d[u]$$
Se aplican propiedades de potencias:
$$d\left[ \sqrt[n]{u} \right]\ =\ \dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{1}{u^{\frac{n-1}{n}}}\cdot d[u]$$
Se escribe la potencia como un radical:
$$d\left[ \sqrt[n]{u} \right]\ =\ \dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{1}{\sqrt[n]{u^{n-1}}}\cdot d[u]$$
Se multiplican todas las fracciones para llegar a la expresión deseada:
$$d\left[ \sqrt[n]{u} \right]\ =\ \dfrac{d[u]}{n\cdot \sqrt[n]{u^{n-1}}} $$

• Derivada de funciones logarítmicas
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{d[u]}{\ln(a)\cdot u} }}}$$
Se aplica la propiedad de cambio de base para logaritmos:
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ d\left[ \dfrac{\ln(u)}{\ln(a)} \right]$$
Se aplica la derivada de una contante por una función:
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{1}{\ln(a)}\cdot d\left[ \ln(u) \right]$$
Para calcular esta derivada, se utiliza la definición:
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{1}{\ln(a)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\ln(u+h)-\ln(u)}{h}$$ Se aplican propiedades de logaritmos para expresarlo como:
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{1}{\ln(a)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\ln\left(\dfrac{u+h}{u}\right)}{h}$$
Se separa la fracción $\dfrac{1}{h}$ y la fracción del logaritmo:
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{1}{\ln(a)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{1}{h}\cdot\ln\left(\dfrac{u}{u}+\dfrac{h}{u}\right)$$
Se simplifica la fracción unitaria:
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{1}{\ln(a)}\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{1}{h}\cdot\ln\left(1+\dfrac{h}{u}\right)$$
Ahora considera el cambio de variable $k=\dfrac{u}{h}$, de forma que si $h\rightarrow0$, entonces $k\rightarrow+\infty$, $\dfrac{h}{u}=\dfrac{1}{k}$ y $\dfrac{1}{h}=\dfrac{k}{u}$:
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{1}{\ln(a)}\cdot\lim_{k\rightarrow+\infty}\dfrac{k}{u}\cdot\ln\left(1+\dfrac{1}{k}\right)$$
Se aplica propiedades de logaritmos:
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{1}{\ln(a)}\cdot\lim_{k\rightarrow+\infty}\dfrac{1}{u}\cdot\ln\left(\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k\right)$$
Se extrae la constante del límite:
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{1}{\ln(a)\cdot u}\cdot\lim_{k\rightarrow+\infty}\ln\left(\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k\right)$$
Como la función logaritmo es continua en su dominio:
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{1}{\ln(a)\cdot u}\cdot\ln\left(\lim_{k\rightarrow+\infty}\left(1+\dfrac{1}{k}\right)^k\right)$$
Este es un conocido límite, cuyo valor es $e$, por ser $u$ una función se agrega un $d[u]$ (por la regla de la cadena):
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{1}{\ln(a)\cdot u}\cdot\ln(e)\cdot d[u]$$
Se aplica $\ln(e)=1$ y se multiplican las fracciones:
$$d\left[ \log_a(u) \right]\ =\ \dfrac{d[u]}{\ln(a)\cdot u}$$

• Derivada de funciones exponenciales
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d\left[ a^u \right]\ =\ \ln(a)\cdot a^u\cdot d[u] }}}$$
Esta derivada se puede resolver mediante la derivación logarítmica (por eso se demostró primero la derivada anterior):
$$e(x)\ =\ a^u$$
Se aplica logaritmo natural en ambos miembros de la ecuación (la exponencial es una función positiva):
$$\ln( e(x) )\ =\ \ln(a^u)$$
Se aplican propiedades de logaritmos:
$$\ln( e(x) )\ =\ u\cdot \ln(a)$$
Se deriva en ambos lados:
$$d[ \ln( e(x) )]\ =\ d[u\cdot \ln(a)]$$
Se extrae la contante en la derecha:
$$d[ \ln( e(x) )]\ =\ \ln(a)\cdot d[u]$$
Se deriva en la izquierda con regla de la cadena y la derivada del logaritmo:
$$\dfrac{d[e(x)]}{e(x)}\ =\ \ln(a)\cdot d[u]$$
Se multiplica por $e(x)$:
$$d[e(x)]\ =\ e(x)\cdot\ln(a)\cdot d[u]$$
Se cambia $e(x)=a^u$ y se organizan los factores:
$$d[e(x)]\ =\ \ln(a)\cdot a^u\cdot d[u]$$

• Derivada de un valor absoluto
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d\left[ |u| \right]\ =\ \dfrac{u\cdot d[u]}{|u|} }}}$$
El valor absoluto se pude expresar como un radical:
$$d[ |u| ]\ =\ d[ \sqrt{u^2} ]$$
Se deriva la función racional utilizando la regla de la cadena:
$$d[|u|]\ =\ \dfrac{d[u^2]}{2\cdot\sqrt{u^2}}$$
Ahora se deriva el monomio de grado $n$ del numerador utilizando la regla de la cadena:
$$d[|u|]\ =\ \dfrac{2\cdot u\cdot d[u]}{2\cdot\sqrt{u^2}}$$
Se simplifican los $2$ y se expresa el radical como valor absoluto:
$$d[|u|]\ =\ \dfrac{u\cdot d[u]}{|u|}$$

• Derivada de funciones inversas
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d\left[ f^{-1}(u) \right]\ =\ \dfrac{d[u]}{f^\prime\big( f^{-1}(u) \big)} }}}$$
Como se trata de la inversa de una función, existe $y(x)=y$, tal que :
$$y\ =\ f^{-1}(u)$$
Se aplica la función original en ambos lados:
$$f(y)\ =\ f\big( f^{-1}(u) \big)$$
Se aplica la propiedad de la composición entre una función y su inversa:
$$f(y)\ =\ u$$
Se deriva en ambos lados por derivación implícita:
$$d[f(y)]\ =\ d[u]$$
Se deriva con la regla de la cadena:
$$f^\prime(y)\cdot d[y]\ =\ d[u]$$
Se despeja $d[y]$:
$$d[y]\ =\ \dfrac{d[u]}{f^\prime(y)}$$
Ahora se sustituye $y$ por la función original:
$$d[f^{-1}(u)]\ =\ \dfrac{d[u]}{f^\prime\big( f^{-1}(u) \big)}$$