Integración por partes

Integración por partes

La integración por partes es un método de integración utilizado cuando se tienen productos entre dos funciones. En la siguiente fórmula, se debe elegir una función como $u$ y la otra (junto con el diferencial) será $dv$:
$$\int u\cdot dv=u\cdot v\ -\ \int v\cdot du$$
¿De dónde proviene esa fórmula?
Esta fórmula se obtiene a partir de la derivada del producto:
$$d[u\cdot v]=du\cdot v\ +\ u\cdot dv$$
De esta fórmula se despeja $u\cdot dv$:
$$d[u\cdot v]\ -\ du\cdot v=u\cdot dv$$
Se reordena $du\cdot v$ como $v\cdot du$ y se integra en ambos lados:
$$\int d[u\cdot v]\ -\ \int v\cdot du=\int u\cdot dv$$
Aplicando el TFC (Teorema Fundamental del Cálculo: Parte 1):
$$u\cdot v\ -\ \int v\cdot du=\int u\cdot dv$$
Intercambiando el orden de la igualdad:
$$\int u\cdot dv=u\cdot v\ -\ \int v\cdot du$$

¿Cómo se utiliza?
Usualmente, este método resulta útil cuando se tiene una multiplicación de dos funciones de distinto tipo (algebraicas, exponenciales, logarítmicas, inversas, trigonométricas e hiperbólicas). No obstante, existen funciones que no se pueden integrar con este método (se hablará de estas integrales en otro apartado).

Aunque no todo es malo, el método funciona perfectamente con muchos casos y mostraré unos ejemplos de como aplicar este método fácilmente.

Ejemplo 1 $$\int \color{blue}{x}\cdot\color{red}{e^xdx}$$

El primer paso consiste en seleccionar una de las funciones como $u$ y la otra como $dv$ (siempre con el diferencial). Para ello, se puede tomar $u=x$ y $dv=e^xdx$, luego se calculan la derivada de la primera función $du=dx$ y la integral de la segunda, $v=e^x$:
$$\int \color{blue}{u}\cdot\color{red}{dv}=\color{blue}{u}\cdot\color{red}{v}\ -\ \int\color{red}{v}\cdot\color{blue}{du}$$
Sustituyendo las funciones anteriores en la fórmula:
$$\int \color{blue}{x}\cdot\color{red}{e^xdx}=\color{blue}{x}\cdot\color{red}{e^x}\ -\ \int\color{red}{e^x}\cdot\color{blue}{dx}$$
Observa como la integral del lado derecho es más sencilla que la original, lo cual nos lleva al resultado de la integral:
$$\int x\cdot e^xdx=x\cdot e^x\ -\ e^x\ +\ C$$

Ejemplo 2 $$\int \color{blue}{x}\cdot\color{red}{\cos(x)dx}$$

El primer paso consiste en seleccionar una de las funciones como $u$ y la otra como $dv$ (siempre con el diferencial). Para ello, se puede tomar $u=x$ y $dv=\cos(x)dx$, luego se calculan la derivada de la primera función $du=dx$ y la integral de la segunda, $v=\sin(x)$:
$$\int \color{blue}{u}\cdot\color{red}{dv}=\color{blue}{u}\cdot\color{red}{v}\ -\ \int\color{red}{v}\cdot\color{blue}{du}$$
Sustituyendo las funciones anteriores en la fórmula:
$$\int \color{blue}{x}\cdot\color{red}{\cos(x)dx}=\color{blue}{x}\cdot\color{red}{\sin(x)}\ -\ \int\color{red}{sin(x)}\cdot\color{blue}{dx}$$
La segunda integral es sencilla, ese es el objetivo de la integración por partes:
$$\int \color{blue}{x}\cdot\color{red}{\cos(x)dx}=\color{blue}{x}\cdot\color{red}{\sin(x)}\ +\ \cos(x)\ +\ C$$

Ejemplo 3 $$\int \color{blue}{\ln(x)}\cdot\color{red}{dx}$$

El primer paso consiste en seleccionar una de las funciones como $u$ y la otra como $dv$ (siempre con el diferencial). Para ello, se puede tomar $u=\ln(x)$ y $dv=dx$, luego se calculan la derivada de la primera función $du=\dfrac{1}{x}dx$ y la integral de la segunda, $v=x$:
$$\int \color{blue}{u}\cdot\color{red}{dv}=\color{blue}{u}\cdot\color{red}{v}\ -\ \int\color{red}{v}\cdot\color{blue}{du}$$
Sustituyendo las funciones anteriores en la fórmula:
$$\int \color{blue}{\ln(x)}\cdot\color{red}{dx}=\color{blue}{\ln(x)}\cdot\color{red}{x}\ -\ \int\color{red}{x}\cdot\color{blue}{\dfrac{1}{x}dx}$$
En la segunda integral se cancelan las $x$ y se obtiene $1$, cuya integral es inmediata:
$$\int \color{blue}{\ln(x)}\cdot\color{red}{dx}=\color{blue}{\ln(x)}\cdot\color{red}{x}\ -\ x\ +\ C$$

¿Cómo saber cuál función elegir como $\color{blue}{u}$ y cuál como $\color{red}{dv}$?
Este es el principal problema con el cuál muchos estudiantes tienen dificultades. Sin embargo, existen 2 mnemotécnicas muy conocidas y útiles para elegir la función a elegir como $\color{blue}{u}$ y cuál como $\color{red}{dv}$.
$$\begin{array}{|c|l|}\hline
\text{Inicial}&\text{Tipo de función}\\\hline
\text{I}&\text{Inversas}\\\hline
\text{L}&\text{Logarítmicas}\\\hline
\text{A}&\text{Algebraicas}\\\hline
\text{T}&\text{Trigonométricas}\\\hline
\text{E}&\text{Exponenciales}\\\hline
\end{array}\text{   ó   }
\begin{array}{|c|l|}\hline
\text{Inicial}&\text{Tipo de función}\\\hline
\text{L}&\text{Logarítmicas}\\\hline
\text{I}&\text{Inversas}\\\hline
\text{A}&\text{Algebraicas}\\\hline
\text{T}&\text{Trigonométricas}\\\hline
\text{E}&\text{Exponenciales}\\\hline
\end{array}$$

Cualquiera que utilices es indiferente, pues son equivalentes de aplicar. Si revisas los ejemplos anteriores, todos cumplen con ambos criterios, el único requisito es saber identificar los tipos de funciones.