El concepto de derivada

El concepto de derivada

La derivada es uno de los 3 elementos principales del cálculo. Esta sección reúnen las notaciones, la definición y deducción de esta.

Notaciones para las derivadas
Las derivadas se pueden representar de distintas formas, aunque en el fondo, todas son equivalentes. Estas diferentes formas de expresar el mismo concepto tienen sus ventajas; ya sea para resaltar la variable para la cual se deriva o para facilitar la escritura. Acá te muestro las notaciones usuales:

• Derivada de Leibniz: $\dfrac{d}{dx}\big[ f(x) \big]$
• Derivada de Euler: $D_x\big[ f(x) \big]$
• Derivada de Lagrange$f^\prime(x)$
• Derivada de Newton: $\dot{x}$
• Otra notación muy usada: $y^\prime$

De las notaciones anteriores, las primeras dos (Leibniz y Euler) permiten conocer la variable para la cual se deriva; en los ejemplos de arriba se deriva con respecto a $x$. Por otro lado, las restantes tienen una notación más simple.

Derivadas de orden superior
Este término se utiliza para denotar a las derivadas de una derivada. Es decir, si se deriva la derivada de una función tienes la segunda derivada; y si este resultado se deriva, se tiene la tercera derivada. La notación para todas estas derivadas de derivadas, se representan así (hasta la $n$-ésima vez):

• $\dfrac{d^n}{dx^n}\big[ f(x) \big]$
• $(D_x)^n\big[ f(x) \big]$
• $f^{(n)}(x)$
• $y^{(n)}$

Cuando se estén calculando derivadas de orden superior, se recomienda simplificar la derivada obtenida; de esta forma es más sencillo calcular la siguiente derivada y se evitan los errores. También, se deben conocer y manejar correctamente las reglas de derivación.

Una explicación de la construcción de la definición de derivada
La derivada corresponde a la pendiente de la recta tangente en un punto de la curva. Esta pendiente se determina con la fórmula usual para las pendientes de una recta:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{m=\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}}}}$$
No obstante, para esta pendiente se requieren 2 puntos sobre la curva y la definición, solo habla de uno. Es decir, no se puede utilizar la fórmula anterior así como aparece, se necesita de realizar un cambio.

De acuerdo a la figura anterior, se tiene una recta secante (interseca a la curva en dos puntos); si el punto $\big(x,f(x)\big)$ se "acercara" al punto $\big(a,f(a)\big)$, la recta se "aproximaría" cada vez más, a una recta tangente. Por esta razón, se utiliza un límite para definir a una derivada; el límite permite "acercarse" a un punto, tanto como se desee, solo basta hablar del límite cuando $x$ tiende a $a$.

Definición de derivada en un punto
El desarrollo anterior permite enunciar el concepto de derivada en un punto, el cual, nos lleva a la siguiente fórmula:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ f^\prime(a)\ =\ \lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} }}}$$
Posiblemente, esta no sea la definición o fórmula típica de un curso de cálculo, estas definiciones suelen llevar una letra $h$ que acá, no aparece. No te preocupes, ambas son equivalentes, solo es cuestión de realizar un cambio de variable para el límite y se obtiene la otra fórmula.

Considera llamar $h=a-x$, está claro que, cuando $x\rightarrow a$ va a suceder que $h\rightarrow0$, y finalmente, $a=x+h$. Al sustituir estos valores en la fórmula anterior, se obtiene:
$$f^\prime(x)\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x)-f(x+h)}{-h}$$

Definición de derivada
La derivada de una función se puede expresar con la fórmula:
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ f^\prime(x)\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} }}}$$
Esta se deduce de la última, al realizar un cambio de signos en el numerador y denominador, es decir, al amplificar la fracción por $-1$.