Derivación: demostraciones (parte 4)

Derivación: demostraciones (parte 4)

Nota Aclaratoria
En esta sección se toma como postulados, las propiedades de los números reales y de los límites; esto, con el fin de permitir una claridad en cada una de las demostraciones. Además, el concepto de derivada también se utilizará con mayor fuerza, el cual puedes consultar aquí, el cual, corresponde a
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ f^\prime(x)=\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} }}}$$
Aclarado esto, se procede a las demostraciones de las reglas de derivación, las cuales puedes consultar aquí. Además, las letras $y$, $u$ y $v$, representan funciones de variable $x$; es decir, $y=y(x)$, $u=u(x)$ y $v=v(x)$; todas ellas derivables en un intervalo $I$ y bien definidas. Además, las letras $a$, $c$ y $n$ son cantidades constantes.

Derivadas de las funciones elementales (parte B)
En esta sección se demuestran las derivadas de las funciones elementales, en estas demostraciones se utilizan tanto la definición de derivada, las derivadas de operaciones (suma, resta, producto y cociente), las derivadas básicas y las derivadas de algunas funciones elementales. Además, se asumen todas las propiedades de límites y límites especiales usados en las siguientes demostraciones.

• Derivada de funciones trigonométricas


Derivada del seno 
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \sin(u) ]\ =\ \cos(u)\cdot d[u] }}}$$
Se aplica la definición de derivada y por regla de la cadena, se agrega $d[u]$:
$$d[ \sin(u) ]\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\sin(u+h)-\sin(u)}{h}\cdot d[u]$$
Se aplica la identidad para el seno de una suma:
$$d[ \sin(u) ]\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\sin(u)\cos(h)+\cos(u)\sin(h)-\sin(u)}{h}\cdot d[u]$$
Se aplica factor común $\sin(u)$ en el numerador con el primer y último término:
$$d[ \sin(u) ]\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\sin(u)\big( \cos(h)-1 \big)+\cos(u)\sin(h)}{h}\cdot d[u]$$
Se separan las fracciones:
$$d[ \sin(u) ]\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\sin(u)\big( \cos(h)-1 \big)}{h}+\dfrac{\cos(u)\sin(h)}{h}\cdot d[u]$$
Se separa el límite como una suma de límites:
$$d[ \sin(u) ]\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\sin(u)\big( \cos(h)-1 \big)}{h}\cdot d[u]+\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cos(u)\sin(h)}{h}\cdot d[u]$$
Se extraen las constantes en cada uno de los límites:
$$d[ \sin(u) ]\ =\ \sin(u)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cos(h)-1}{h}\cdot d[u]+\cos(u)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\sin(h)}{h}\cdot d[u]$$
Se aplican los límites especiales para el seno y coseno:
$$d[ \sin(u) ]\ =\ \sin(u)\cdot0\cdot d[u]+\cos(u)\cdot1\cdot d[u]$$
Simplificando las expresiones:
$$d[ \sin(u) ]\ =\ \cos(u)\cdot d[u]$$


Derivada del coseno
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \cos(u) ]\ =\ -\sin(u)\cdot d[u] }}}$$
Se aplica la definición de derivada y por regla de la cadena, se agrega $d[u]$:
$$d[ \cos(u) ]\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cos(u+h)-\cos(u)}{h}\cdot d[u]$$
Se aplica la identidad para el coseno de una suma:
$$d[ \cos(u) ]\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cos(u)\cos(h)-\sin(u)\sin(h)-\cos(u)}{h}\cdot d[u]$$
Se aplica factor común $\sin(u)$ en el numerador con el primer y último término:
$$d[ \cos(u) ]\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cos(u)\big( \cos(h)-1 \big)-\sin(u)\sin(h)}{h}\cdot d[u]$$
Se separan las fracciones:
$$d[ \cos(u) ]\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cos(u)\big( \cos(h)-1 \big)}{h}-\dfrac{\sin(u)\sin(h)}{h}\cdot d[u]$$
Se separa el límite como una suma de límites:
$$d[ \cos(u) ]\ =\ \lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cos(u)\big( \cos(h)-1 \big)}{h}\cdot d[u]-\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\sin(u)\sin(h)}{h}\cdot d[u]$$
Se extraen las constantes en cada uno de los límites:
$$d[ \cos(u) ]\ =\ \cos(u)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\cos(h)-1}{h}\cdot d[u]-\sin(u)\cdot\lim_{h\rightarrow0}\dfrac{\sin(h)}{h}\cdot d[u]$$
Se aplican los límites especiales para el seno y coseno:
$$d[ \cos(u) ]\ =\ \cos(u)\cdot0\cdot d[u]-\sin(u)\cdot1\cdot d[u]$$
Simplificando las expresiones:
$$d[ \cos(u) ]\ =\ -\sin(u)\cdot d[u]$$


Derivada del tangente
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \tan(u) ]\ =\ \sec^2(u)\cdot d[u] }}}$$
Se expresa tangente en términos de senos y cosenos:
$$d[ \tan(u) ]\ =\ \left[ \dfrac{\sin(u)}{\cos(u)} \right]^\prime$$
Se aplica la derivada de un cociente:
$$d[ \tan(u) ]\ =\ \dfrac{[\sin(u)]^\prime\cdot\cos(u)-\sin(u)\cdot[\cos(u)]^\prime}{\cos^2(u)}$$
Se aplican las derivadas del seno y del coseno:
$$d[ \tan(u) ]\ =\ \dfrac{\cos(u)\cdot d[u]\cdot\cos(u)-\sin(u)\cdot-\sin(u)\cdot d[u]}{\cos^2(u)}$$
Se aplica factor común al $d[u]$:
$$d[ \tan(u) ]\ =\ \dfrac{\big( \cos(u)\cdot\cos(u)+\sin(u)\cdot\sin(u) \big)d[u]}{\cos^2(u)}$$
Multiplicando los términos del numerador:
$$d[ \tan(u) ]\ =\ \dfrac{\big( \cos^2(u)+\sin^2(u) \big)d[u]}{\cos^2(u)}$$
Aplicando la identidad pitagórica en el numerador:
$$d[ \tan(u) ]\ =\ \dfrac{d[u]}{\cos^2(u)}$$
Se aplica la definición de secante:
$$d[ \tan(u) ]\ =\ \sec^2(u)\cdot d[u]$$


Derivada del cosecante
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \csc(u) ]\ =\ -\csc(u)\cdot\cot(u)\cdot d[u] }}}$$
Se expresa cosecante en términos de senos y cosenos:
$$d[ \csc(u) ]\ =\ \left[ \dfrac{1}{\sin(u)} \right]^\prime$$
Se aplica la derivada de un cociente:
$$d[ \csc(u) ]\ =\ \dfrac{[1]^\prime\cdot\sin(u)-1\cdot[\sin(u)]^\prime}{\sin^2(u)}$$
Se aplican las derivadas del seno y de una constante:
$$d[ \csc(u) ]\ =\ \dfrac{0\cdot\cos(u)-1\cdot\cos(u)\cdot d[u]}{\sin^2(u)}$$
Se simplifica el numerador y se separa el denominador:
$$d[ \csc(u) ]\ =\ \dfrac{-\cos(u)\cdot d[u]}{\sin(u)\cdot\sin(u)}$$
Separando la fracción como un producto de fracciones:
$$d[ \csc(u) ]\ =\ -\dfrac{1}{\sin(u)}\cdot\dfrac{\cos(u)}{\sin(u)}\cdot d[u]$$
Se aplica la definición de cosecante y cotangente:
$$d[ \csc(u) ]\ =\ -\csc(u)\cdot\cot(u)\cdot d[u]$$


Derivada del secante
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \sec(u) ]\ =\ \sec(u)\cdot\tan(u)\cdot d[u] }}}$$
Se expresa secante en términos de senos y cosenos:
$$d[ \sec(u) ]\ =\ \left[ \dfrac{1}{\cos(u)} \right]^\prime$$
Se aplica la derivada de un cociente:
$$d[ \sec(u) ]\ =\ \dfrac{[1]^\prime\cdot\cos(u)-1\cdot[\cos(u)]^\prime}{\cos^2(u)}$$
Se aplican las derivadas de una constante y del coseno:
$$d[ \sec(u) ]\ =\ \dfrac{0\cdot d[u]\cdot\cos(u)-1\cdot-\sin(u)\cdot d[u]}{\cos^2(u)}$$
Se simplifica el numerador y se separa el denominador:
$$d[ \sec(u) ]\ =\ \dfrac{\sin(u)d[u]}{\cos(u)\cdot\cos(u)}$$
Se separa la fracción como un producto de fracciones:
$$d[ \sec(u) ]\ =\ \dfrac{1}{\cos(u)}\cdot\dfrac{\sin(u)}{\cos(u)}\cdot d[u]$$
Se aplica la definición de secante y tangente:
$$d[ \sec(u) ]\ =\ \sec(u)\cdot\tan(u)\cdot d[u]$$


Derivada del cotangente
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \cot(u) ]\ =\ -\csc^2(u)\cdot d[u] }}}$$
Se expresa cosecante en términos de senos y cosenos:
$$d[ \cot(u) ]\ =\ \left[ \dfrac{\cos(u)}{\sin(u)} \right]^\prime$$
Se aplica la derivada de un cociente:
$$d[ \cot(u) ]\ =\ \dfrac{[\cos(u)]^\prime\cdot\sin(u)-\cos(u)\cdot[\sin(u)]^\prime}{\sin^2(u)}$$
Se aplican las derivadas del seno y del coseno:
$$d[ \cot(u) ]\ =\ \dfrac{-\sin(u)\cdot d[u]\cdot\sin(u)-\cos(u)\cdot\cos(u)\cdot d[u]}{\sin^2(u)}$$
Se aplica factor común $-d[u]$:
$$d[ \tan(u) ]\ =\ \dfrac{-\big( \sin(u)\cdot\sin(u)+\cos(u)\cdot\cos(u) \big)d[u]}{\sin^2(u)}$$
Multiplicando los términos del numerador:
$$d[ \cot(u) ]\ =\ \dfrac{-\big( \sin^2(u)+\cos^2(u) \big)d[u]}{\sin^2(u)}$$
Aplicando la identidad pitagórica en el numerador:
$$d[ \cot(u) ]\ =\ -\dfrac{1}{\sin^2(u)}\cdot d[u]$$
Se aplica la definición de cosecante:
$$d[ \cot(u) ]\ =\ -\csc^2(u)\cdot d[u]$$


• Derivada de funciones trigonométricas inversas


Derivada del arcoseno 
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \arcsin(u) ]\ =\ \dfrac{d[u]}{\sqrt{1-u^2}} }}}$$
Considera $v=\arcsin(u)$ y se desea $d[v]$. Aplican seno en ambos lados:
$$\sin(v)=\sin(\arcsin(u))$$
Se aplica la propiedad de la composición de una función y su inversa:
$$\sin(v)=u$$
Se deriva en ambos lados de la igualdad:
$$\cos(v)\cdot d[v]=d[u]$$
Se despeja $d[v]$:
$$d[v]=\dfrac{d[u]}{\cos(v)}$$
Se aplica la identidad para expresar el coseno en términos de seno:
$$d[v]=\dfrac{d[u]}{\sqrt{1-\sin^2(v)}}$$
Reemplazando $\sin(v)$ por $u$:
$$d[v]=\dfrac{d[u]}{\sqrt{1-u^2}}$$
Reescribiendo en términos de las expresiones originales:
$$d[\arcsin(u)]=\dfrac{d[u]}{\sqrt{1-u^2}}$$


Derivada del arcocoseno
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \arccos(u) ]\ =\ -\dfrac{d[u]}{\sqrt{1-u^2}} }}}$$
Considera $v=\arccos(u)$ y se desea $d[v]$. Aplican coseno en ambos lados:
$$\cos(v)=\cos(\arccos(u))$$
Se aplica la propiedad de la composición de una función y su inversa:
$$\cos(v)=u$$
Se deriva en ambos lados de la igualdad:
$$-\sin(v)\cdot d[v]=d[u]$$
Se despeja $d[v]$:
$$d[v]=-\dfrac{d[u]}{\sin(v)}$$
Se aplica la identidad para expresar el seno en términos de coseno:
$$d[v]=-\dfrac{d[u]}{\sqrt{1-\cos^2(v)}}$$
Reemplazando $\cos(v)$ por $u$:
$$d[v]=-\dfrac{d[u]}{\sqrt{1-u^2}}$$ Reescribiendo en términos de las expresiones originales:
$$d[\arccos(u)]=-\dfrac{d[u]}{\sqrt{1-u^2}}$$


Derivada del arcotangente
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \arctan(u) ]\ =\ \dfrac{d[u]}{1+u^2} }}}$$
Considera $v=\arctan(u)$ y se desea $d[v]$. Aplican tangente en ambos lados:
$$\tan(v)=\tan(\arctan(u))$$
Se aplica la propiedad de la composición de una función y su inversa:
$$\tan(v)=u$$
Se deriva en ambos lados de la igualdad:
$$\sec^2(v)\cdot d[v]=d[u]$$
Se despeja $d[v]$:
$$d[v]=\dfrac{d[u]}{\sec^2(v)}$$
Se aplica la identidad para expresar la secante en términos de tangente:
$$d[v]=\dfrac{d[u]}{\tan^2(v)+1}$$
Reemplazando $\tan(v)$ por $u$:
$$d[v]=\dfrac{d[u]}{u^2+1}$$
Reescribiendo en términos de las expresiones originales:
$$d[\arctan(u)]=\dfrac{d[u]}{u^2+1}$$


Derivada del arcocosecante
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \text{arc}\csc(u) ]\ =\ \dfrac{d[u]}{|u|\cdot\sqrt{u^2+1}} }}}$$
Considera $v=\text{arc}\csc(u)$ y se desea $d[v]$. Aplican cosecante en ambos lados:
$$\csc(v)=\csc(\text{arc}\csc(u))$$
Se aplica la propiedad de la composición de una función y su inversa:
$$\csc(v)=u$$
Se deriva en ambos lados de la igualdad:
$$-\csc(v)\cdot\cot(v)\cdot d[v]=d[u]$$
Se despeja $d[v]$:
$$d[v]=-\dfrac{d[u]}{\csc(v)\cot(v)}$$
Se aplica la identidad para expresar la cotangente en términos de cosecante:
$$d[v]=\dfrac{d[u]}{\csc(v)\cdot\sqrt{\csc^2(v)-1}}$$
Reemplazando $\csc(v)$ por $u$:
$$d[v]=\dfrac{d[u]}{u\sqrt{u^2-1}}$$
Reescribiendo en términos de las expresiones originales:
$$d[\text{arc}\csc(u)]=\dfrac{d[u]}{u\cdot\sqrt{u^2-1}}$$
El valor absoluto proviene de el dominio en el cual se define arcocosecante, no admite valores negativos para el coseno. Por esta, razón se escribe:
$$d[\text{arc}\csc(u)]=\dfrac{d[u]}{|u|\cdot\sqrt{u^2-1}}$$


Derivada del arcosecante
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \text{arc}\sec(u) ]\ =\ \dfrac{d[u]}{u\cdot\sqrt{u^2-1}} }}}$$
Considera $v=\text{arc}\csc(u)$ y se desea $d[v]$. Aplican secante en ambos lados:
$$\sec(v)=\sec(\text{arc}\sec(u))$$
Se aplica la propiedad de la composición de una función y su inversa:
$$\sec(v)=u$$
Se deriva en ambos lados de la igualdad:
$$\sec(v)\cdot\tan(v)\cdot d[v]=d[u]$$
Se despeja $d[v]$:
$$d[v]=\dfrac{d[u]}{\sec(v)\tan(v)}$$
Se aplica la identidad para expresar la tangente en términos de secante:
$$d[v]=\dfrac{d[u]}{\sec(v)\cdot\sqrt{\sec^2(v)-1}}$$
Reemplazando $\sec(v)$ por $u$:
$$d[v]=\dfrac{d[u]}{u\sqrt{u^2-1}}$$
Reescribiendo en términos de las expresiones originales:
$$d[\text{arc}\sec(u)]=\dfrac{d[u]}{u\cdot\sqrt{u^2-1}}$$


Derivada del arcocotangente
$$\color{red}{\boxed{\color{blue}{ d[ \text{arc}\cot(u) ]\ =\ -\dfrac{d[u]}{u^2+1} }}}$$
Considera $v=\text{arc}\cot(u)$ y se desea $d[v]$. Aplican tangente en ambos lados:
$$\cot(v)=\cot(\text{arc}\cot(u))$$
Se aplica la propiedad de la composición de una función y su inversa:
$$\cot(v)=u$$
Se deriva en ambos lados de la igualdad:
$$-\csc^2(v)\cdot d[v]=d[u]$$
Se despeja $d[v]$:
$$d[v]=-\dfrac{d[u]}{\csc^2(v)}$$
Se aplica la identidad para expresar la cosecante en términos de cotangente:
$$d[v]=-\dfrac{d[u]}{\cot^2(v)+1}$$
Reemplazando $\cot(v)$ por $u$:
$$d[v]=-\dfrac{d[u]}{u^2+1}$$
Reescribiendo en términos de las expresiones originales:
$$d[\text{arc}\cot(u)]=-\dfrac{d[u]}{u^2+1}$$