Integración por sustitución

Integración por sustitución

La integración por sustitución es un método de integración utilizado cuando se tiene una composición de funciones $f\big( g(x) \big)$ en la cual aparece la derivada de la función interna $g^\prime(x)dx$. Por esta razón, la sustitución consiste en cambiar a la función interna $u=g(x)$, de la cual, al derivar se obtiene $du=g^\prime(x)dx$; la integral se puede reescribir:
$$\int f\big( g(x) \big)\cdot g^\prime(x)dx \Longrightarrow \int f(u)\cdot du$$
¿Cuál es el beneficio de hacer este cambio?
Pues el principal beneficio es ver la integral de una forma más sencilla, que te facilite el proceso de integración al reconocer rápidamente integrales inmediatas.

Ejemplo 1 $$\int e^{\color{blue}{x^5+3x-19}}\cdot\color{red}{(5x^4+3)dx}$$

Si se observa bien, la derivada del exponente aparece multiplicando al diferencial, esto te puede dar una pista sobre una sustitución simple. Considera $\color{blue}{u=x^5+3x-19}$, al derivar esto se obtiene $\color{red}{du=(5x^4+3)dx}$, así la integral quedaría:
$$\int e^{\color{blue}{x^5+3x-19}}\cdot\color{red}{(5x^4+3)dx} \Longrightarrow \int e^{\color{blue}{u}}\cdot\color{red}{du}$$
Esto es una integral inmediata, la cual se resuelve:
$$\int e^{\color{blue}{u}}\cdot\color{red}{du} = e^{\color{blue}{u}}\ +\ C$$
Finalmente, para dar con la primitiva original, se debe deshacer el cambio de variable. Dado que inicialmente se tomó $\color{blue}{u=x^5+3x-19}$, entonces:
$$\int e^{\color{blue}{x^5+3x-19}}\cdot\color{red}{(5x^4+3)dx} = e^{\color{blue}{x^5+3x-19}}\ +\ C$$

Ejemplo 2 $$\int \cos\big(\color{blue}{\sin(x)}\big)\cdot\color{red}{\cos(x)dx}$$

Si se observa bien, la derivada del argumento de la tangente aparece multiplicando al diferencial, esto te puede dar una pista sobre una sustitución simple. Considera $\color{blue}{u=\sin(x)}$, al derivar esto se obtiene $\color{red}{du=\cos(x)dx}$, así la integral quedaría:
$$\int \cos\big(\color{blue}{\sin(x)}\big)\cdot\color{red}{\cos(x)dx} \Longrightarrow \int \cos(\color{blue}{u})\cdot\color{red}{du}$$
Esto es una integral inmediata, la cual se resuelve:
$$\int \cos(\color{blue}{u})\cdot\color{red}{du} = \sin(\color{blue}{u})\ +\ C$$
Finalmente, para dar con la primitiva original, se debe deshacer el cambio de variable. Dado que inicialmente se tomó $\color{blue}{u=\sin(x)}$, entonces:
$$\int \cos\big(\color{blue}{\sin(x)}\big)\cdot\color{red}{\cos(x)dx} \Longrightarrow \sin\big(\color{blue}{\sin(x)}\big)\ +\ C$$

Ejemplo 3 $$\int \color{blue}{\dfrac{1}{1+\ln(x)}}\color{red}{\dfrac{dx}{x}}$$

Si se observa bien, la derivada del denominador aparece multiplicando al diferencial, esto te puede dar una pista sobre una sustitución simple. Considera $\color{blue}{u=1+\ln(x)}$, al derivar esto se obtiene $\color{red}{du=\dfrac{dx}{x}}$, así la integral quedaría:
$$\int \color{blue}{\dfrac{1}{1+\ln(x)}}\color{red}{\dfrac{dx}{x}} \Longrightarrow \int \dfrac{1}{\color{blue}{u}}\cdot\color{red}{du}$$
Esto es una integral inmediata, la cual se resuelve:
$$\int \dfrac{1}{\color{blue}{u}}\cdot\color{red}{du} = \ln\big|\color{blue}{u}\big|\ +\ C$$
Finalmente, para dar con la primitiva original, se debe deshacer el cambio de variable. Dado que inicialmente se tomó $\color{blue}{u=1+\ln(x)}$, entonces:
$$\int \color{blue}{\dfrac{1}{1+\ln(x)}}\color{red}{\dfrac{dx}{x}} = \ln\big|\color{blue}{1+\ln(x)}\big|\ +\ C$$

¿Cómo saber cuál función elegir como $\color{blue}{u}$?
Esto suele ser lo complicado al inicio, solo debes tener en cuenta que la función que tomes como $u$ debes derivarla, si la derivada $du$ se parece a alguna expresión que multiplique al diferencial, estás por buen camino.